Algebr. Gleichung mit e-Funk. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 So 23.10.2005 | | Autor: | fritz48 |
Hallo Leute!
Bei meinen Klausurvorbereitungen in Mathe bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen.
1-e^(-6k) 4
-------------- = ---
1-e^(-12k) 7
Lösung für k soll ~(circa) 0,04795 sein.
ich hab die Gleichung umgeformt nach:
4 3
-- e^(-12k) -e^(-6k) + -- = 0
7 7
Von hier an kann ich zwar noch weiterrechnen, allerdings kommt nicht das Ergebnis raus, das in der Lösung angegeben wird.
Es ist möglich das die Lösung einen Fehler hat, jedoch eher unwahrscheinlich (Schulbuch)
Bin für jede Hilfe dankbar und bedank mich schon mal im Vorraus
Fritz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 So 23.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fritz,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Beachte, dass folgendes gilt: [mm] $e^{-12k} [/mm] \ = \ [mm] e^{-6k*2} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ e^{-6k} \ \right)^2$
[/mm]
Wenn Du nun folgende Substitution durchführst, kommst Du auf eine Gleichung, die Du sicher lösen kannst:
Substitution : $t \ := \ [mm] e^{-6k}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\bruch{4}{7} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-t}{1-t^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-t}{(1-t)*(1+t)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1+t}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] \ \ 4*(1+t) \ = \ 7$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 So 23.10.2005 | | Autor: | fritz48 |
Hallo Leute!
wie ich nun erfahren habe, ist die Aufgabe mit Hilfe der Substitution relativ einfach zu lösen.
Meine Frage ist, kann man die Gleichung auch ohne Substitution lösen?
Wie bereits oben erwähnt habe ich es ergebnilos probiert also wäre ich noch (falls überhaupt möglich) für einen Lösungsweg ohne Substitution dankbar.
Vielen Dank im Vorraus
Gruß
Fritz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 So 23.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fritz!
Die Substitution war hier nur aus Vereinfachungsgründen angesetzt. Es geht aber genauso ohne die Substitution:
[mm] $\bruch{4}{7} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-e^{-6k}}{1-e^{-12k}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-e^{-6k}}{1-\left(e^{-6k}\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-e^{-6k}}{\left(1-e^{-6k}\right)*\left(1+e^{-6k}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1+e^{-6k}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 So 23.10.2005 | | Autor: | fritz48 |
Hallo Leute (insbesondere Loddar)
nun kenn ich also schon zwei einfache Wege die Aufgabe zu lösen.
Was mir jedoch keine Ruhe lässt ist die Problematik das ich es ohne Substitution bzw. die e^-12k = (e^-6k)² Geschichte partout nicht geschafft habe auf die Lösung zu kommen. Ist es also möglich ohne die beiden oben erwähnten Verfahren zur Lösung zu kommen?
Schon mal vielen Dank
Gruß
Fritz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 So 23.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fritz!
Also, ohne die Umformung [mm] $e^{-12k} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ e^{-6k} \ \right)^2$ [/mm] sehe ich keine Lösung dieses Problem's (lasse mich aber auch gerne eines Besseren belehren).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 So 23.10.2005 | | Autor: | fritz48 |
Hallo Leute/Loddar!
Aber wo mach ich dann den mathematischen Fehler wenn ich versuche die Gleichung ohne Substitution und ohne (e^-12k) = (e^-6k)² zu lösen und ich immer partout was falsches rausbekomme?
Mein Fehler kann doch nicht etwa darin liegen, dass ich keine Substitution anwende. Wenn ich es anders versuche und dabei mathematisch keinen Fehler (ich hab mal keinen entdeckt) mache wo liegt dann der Fehler?
Gruß und Dank im Vorraus
Fritz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 So 23.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fritz!
Da bleibt dann Dir doch nichts anderes, als hier mal Deinen Rechenweg zur Kontrolle zu posten ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 So 23.10.2005 | | Autor: | fritz48 |
Hallo Loddar!
vom der Ausgangsgleichung umgeformt auf:
4
-- e^-12k - e^-6k + 3:7 = 0 (ln)
7
4
-- (-12k) *ln(e) - ((-6k *ln(e))) + ln(3:7) = 0
7
48
- -- k + 6k + ln( 3:7 ) = 0 (-ln( 3:7 )
7
6
- -- k = - ln( 3:7 ) : ( - 6:7 )
7
3
k = ln( -- )
7
-----------
6
--
7
k= circa -0,9885
Viel Spaß beim Fehler-Suchen
Gruß
Fritz
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Hallo fritz 48,
> Hallo Loddar!
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> vom der Ausgangsgleichung umgeformt auf:
>
> 4
> -- e^-12k - e^-6k + 3:7 = 0
> (ln)
> 7
>
>
> 4
>
> -- (-12k) *ln(e) - ((-6k *ln(e))) + ln(3:7) =
>
Der Logarithmus einer Summe ist nicht gleich die Summe der Logarithmen der einzelnen Summanden.
Gruß
MathePower
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