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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Fr 27.11.2009 | | Autor: | Matrix22 |
| Aufgabe | Eigenwerte bestimmen:
Matrix: 2 1 -2
1 2 2
-2 2 -1 |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
hallo,
Meine Frage ist ich soll die Eigenwerte von dieser Matrix bestimmen die Lösungen sind X1= -3 X2/3= 3
Ich habe es mit der sarrus regel versucht aber die aufgabe wird so lang wobei ich viele Fehler verursache, dann habe ich die Matrix auf die Zeilenstufenform gebracht und in der diagonalen hinter jede Zahl ein minus Lambda gesetzt aber da komme ich auch auf kein Richtiges Ergebnis.
Meine Frage ist was ist der sicherste Weg zur Lösung der Eigenwerte?
Beträgt der zeitliche Abstand zwischen deiner Frage hier in unserem und dem anderen Forum weniger als vier Stunden, deklarieren wir deine Frage mit dem Status "für Interessierte" (Symbol: ). Diese Fragen werden von Mitgliedern bearbeitet, die die Frage an sich für interessant halten und sich damit beschäftigen wollen (z.B. für "Lernen durch eigenes Erklären"). Da du wegen der zeitlichen Nähe auch mit einer Antwort in dem anderen Forum rechnen kannst, können sich so unsere hilfsbereiten Mitglieder nur um Fragen kümmern, die sonst nicht beantwortet würden.
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> Eigenwerte bestimmen:
> Matrix: 2 1 -2
> 1 2 2
> -2 2 -1
> Meine Frage ist ich soll die Eigenwerte von dieser Matrix
> bestimmen die Lösungen sind X1= -3 X2/3= 3
> Ich habe es mit der sarrus regel versucht aber die aufgabe
> wird so lang wobei ich viele Fehler verursache, dann habe
> ich die Matrix auf die Zeilenstufenform gebracht und in der
> diagonalen hinter jede Zahl ein minus Lambda gesetzt
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Letzteres kann auch nicht klappen!
Du mußt erst die [mm] \lambda [/mm] auf der Diagonalen abziehen.
Dann hat man [mm] \pmat{2-\lambda&1&-2\\1&2-\lambda&2\\-2&2&-1-\lambda}
[/mm]
Jetzt kann ich die 2,Zeile zur 1.Zeile addieren:
Dann hat man [mm] \pmat{3-\lambda&3-\lambda&0\\1&2-\lambda&2\\-2&2&-1-\lambda},
[/mm]
und wenn Du die Matrix jetzt nach der ersten Zeile entwickeltst, sollte es schon recht übersichtlich werden.
Nach der Entwicklung nicht blindlings ausmultiplizieren, sondern schonmal [mm] (3-\lambda) [/mm] ausklammern.
(Das ist übrigens auch ein guter Rat, wenn man mit sarrus entwickelt: immer schon gucken, wo man noch ausklammern und zusammenfassen kann.
Ja nicht übereifrig alles ausmultiplizieren.)
Du könntest allerdings auch noch in der ersten Spalte Nullen erzeugen, indem Du zur 1. die 2.Spalte addierst:
[mm] \pmat{2(3-\lambda)&3-\lambda&0\\3&2-\lambda&2\\0&2&-1-\lambda}, [/mm] und jetzt entwickeln, auch hier vorzugsweise nach der ersten Zeile, weil man schon sieht, daß man dann den Linearfaktor [mm] 3-\lambda [/mm] ausklammern kann, was für die Nullstellenbestimmung sehr erwünscht ist.
Gruß v. Angela
aber
> da komme ich auch auf kein Richtiges Ergebnis.
> Meine Frage ist was ist der sicherste Weg zur Lösung der
> Eigenwerte?
>
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> Beträgt der zeitliche Abstand zwischen deiner Frage hier
> in unserem und dem anderen Forum weniger als vier Stunden,
> deklarieren wir deine Frage mit dem Status "für
> Interessierte" (Symbol: ). Diese Fragen werden von
> Mitgliedern bearbeitet, die die Frage an sich für
> interessant halten und sich damit beschäftigen wollen
> (z.B. für "Lernen durch eigenes Erklären"). Da du wegen
> der zeitlichen Nähe auch mit einer Antwort in dem anderen
> Forum rechnen kannst, können sich so unsere hilfsbereiten
> Mitglieder nur um Fragen kümmern, die sonst nicht
> beantwortet würden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Matrix22 |
Hey Angela erstmal vielen Dank muss dir aber echt sagen das ich net weiss wie ich entwickeln soll laut deiner Rechnung würde ich die Erste Zeile und die erste Spalte streichen anschliessend würde ich
( 2-L) x (-1-Lam) -2x2 rechnen aber ich glaube das ist schon wieder der Ansatz falsch vieleicht machen mir auch einfach die Lamdas die sorgen mit normalen Zahlen kriege ich das hin sitze gerade in der Bibi und verzweifel ein bischen.
Kannst mir da auf die Sprünge helfen?
Danke nochmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Dath |
Ehrlich gesagt, ich versteh nicht so ganz, wo im Moment dein Problem liegt.
[mm]p( \lamba )=det([u] A [/u] - \lamba E_{3})[/mm]
Hierbei bezeichnet [mm]E_{3}[/mm] die [mm]3[/mm]-reihige Einheitsmatrix.
Wie man Determinanten bererchnet weißt du: In diesem Fall z.B. Regel von Sarrus. Was passiert, wenn man eine Matrix, hier die Einheitsmatrix, mit einem Skalar multipliziert weißt du auch. Wie die Subtraktion zweier Matrizen definiert ist, hoffentlich auch. Wenn du die Determinante berechnet hast, erhältst du ein Polynom (warum?), und die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms [mm]p( \lamba )[/mm]. Also:
[mm]p( \lamba )=0 \gdw p( \lamba )=det([u] A [/u] - \lamba E_{3})=0[/mm]
Das ist zwar eine kubische Gleichung, aber du kannst entweder mit Hilfsmitteln aus der Analysis (z.B. Newton-Verfahren) die Nullstellen approximieren und dann die zahl einsetzen, um zu zeigen, dass sie tatsächlich eine Nullstelle des charaketeristischen Polynoms ist, oder du verwendest eine aus der Schule bekannte Methode, nämlich eine Nullstelle raten, eine Polynomdivision durchführen und den verbleibenden quadratischen Faktor entweder mittels Satz von Vieta lösen, oder die Mitternachsformel anwenden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Dath |
Irgendwie habe ich es nicht hinbekommen die lambas zu schreiben. Kann mir vielleicht irgendwer eine Nachricht senden, oder eine weitere Mitteilung, wie man das macht?
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[mm] \lambda[/mm] \lambda
[mm] \alpha[/mm] \alpha
[mm] \beta[/mm] \beta
[mm] \gamma[/mm] \gamma
[mm] \varphi[/mm] \varphi
[mm] \phi[/mm] \phi
etc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Dath |
Zuerst mal danke für die griechischen Buchstaben, aber mir geht es eigentlich darum, dass wenn ich eine Klammer setze (s. mein Artikel), ich danach keine griehischen buchsatebn angezeigt bekomme.
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> Zuerst mal danke für die griechischen Buchstaben, aber mir
> geht es eigentlich darum, dass wenn ich eine Klammer setze
> (s. mein Artikel), ich danach keine griehischen buchsatebn
> angezeigt bekomme.
Hallo,
das liegt daran, daß Du nicht weißt, wie [mm] \lambda [/mm] richtig heißt.
Das heißt nämlich weder lumumba noch lamba, sondern lambda, und wenn Du das hinter den backslash schreibst, kommt auch 'nen griechischer Buchstabe statt stummen Staunens.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Matrix22 |
Danke Angela aber es ging mir nicht um die Schreibweise von labuda oder wie du es meinst das ich es nenne.
Schade hätte gedacht das du mir mehr helfen könntest weil dir Mathe so im Blut liegt.
Trotzdem an dieser Stelle vielen Dank!
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> Danke Angela aber es ging mir nicht um die Schreibweise von
> labuda oder wie du es meinst das ich es nenne.
???
Das ist doch Dath, der dieses Problem hat.
> Schade hätte gedacht das du mir mehr helfen könntest
Ich habe Dir doch genau erklärt, wie es geht.
Hast Du denn nachgelesen, wie man Determinanten entwickelt nach einer Zeile bzw. Spalte?
Falls nicht, kannst Du es bei wikipedia nachlesen, da ist auch ein Beispiel vorgemacht.
Deinen versuch kannst Du dann ja zeigen.
> weil dir Mathe so im Blut liegt.
Es liegt mir nicht im Blut, sondern ist mühsam angelernt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Matrix22 |
Ja hatte ich auch gesehen das es für dath ist.
In wikipedia habe ich es gelesen aber da sin klare matrzen mein Problem ist wie subtrahiere ich die Lambdas oder multipliziere ich sie ich mache da irgendwelche anfängerfehler.
Es wäre schön wenn du mir eine diagonale auf der die Lambdas sind ausrechnest mit hilfe der sarrus Regel damit ich das nachvollziehen kann denn rest mache ich selber.
Weiss echt nicht weiter weil im internet habe ich gekuckt aber bei mir tut sich da nichts!!!
Wäre schön anhand unsere übung wenn du das Beispiel machen würdest.
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> Ja hatte ich auch gesehen das es für dath ist.
> In wikipedia habe ich es gelesen aber da sin klare matrzen
Hallo,
diese Matrix ist auch klar:
$ [mm] \pmat{2(3-\lambda)&3-\lambda&0\\3&2-\lambda&2\\0&2&-1-\lambda},. [/mm] $
Ich entwickele sie jetzt nach der ersten Zeile:
[mm] det\pmat{2(3-\lambda)&3-\lambda&0\\3&2-\lambda&2\\0&2&-1-\lambda}= (-1)^{1+1}*2(3-\lambda)*det\pmat{2-\lambda&2\\2&-1-\lambda} +(-1)^{1+2} (3-\lambda)det \pmat{3&2\\0&-1-\lambda},+(-1)^{1+3}*0det\pmat{3&2-\lambda\\0&2}
[/mm]
= [mm] 2(3-\lambda)[2det\pmat{2-\lambda&2\\2&-1-\lambda} [/mm] - [mm] \pmat{3&2\\0&-1-\lambda}]= [/mm] und jetzt weiter.
Mit Sarrus ausgehend von der nicht umgeformten Matrix:
det$ [mm] \pmat{2-\lambda&1&-2\\1&2-\lambda&2\\-2&2&-1-\lambda} [/mm] $= [mm] (2-\lambda)(2-\lambda)(-1-\lambda)+ [/mm] die anderen Produkte, die man nach Sarrus braucht.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Matrix22 |
Vielen dank Angela für deine Mühe werde das Morgen alles durchrechnen.
Gruß Matrix
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