Algebraische Körperweiterungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:38 Di 23.08.2005 | | Autor: | Jay-G |
Hallo!
Wie beweist man die Behauptung:
Eine Körpererweiterung, die durch Adjunktion unendlich vieler algebraischer Elemente des Körpers entsteht, ist eine algebraische Erweiterung.
Danke für eine Antwort
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:58 Mi 24.08.2005 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
also ich glaube, man könnte das auch induktiv lösen, bin mir aber nicht sicher, ob das reichen würde (für unendlich viele Elemente).
Ich würde deshalb so argumentieren:
Ist eine Körpererweiterung
[mm] L\supsetK [/mm]
gegeben, so definiert man den algebraischen Abschluss [mm] \overline{K} [/mm] von K als
[mm] \overline{K} [/mm] := [mm] \{ \alpha \inL | \alpha \mbox{ algebraisch über K }\}
[/mm]
[mm] \overline{K} [/mm] ist ein Körper.
Da Du jetzt aber nur Elemente zu K adjungierst, die algebraisch über K sind, gilt
[mm] \overline{K} [/mm] = L [mm] \gdw L\supsetK [/mm] algebraisch
Fertig, denn die letzte Äquivalenz gilt ja nach der Definition einer algebraischen Körpererweiterung.
Eigentlich würde ich fast sagen, dass man es sogar direkt aus dieser Definition ablesen kann, denn wenn nur algebraische Elemente adjungiert werden, ist ja jedes Element in L algebraisch über K... Im Prinzip steht oben ja nix anderes...
Schöne Grüße,
djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Jay-G |
Hallo,
Ich verstehe die letzte Äquivalenz noch nicht so richtig.
L ist eine beliebige Körpererweiterung von K?
Was ist wenn man z.b. nur zwei Elemente zu K adjungiert? Dann ist diese Körpererweiterung doch algebraisch über K. Aber warum ist das dann gleich der Abschluss?
MFG Jürgen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es bestehe $A$ aus (unendlich) vielen über K abgebraischen Elementen.
Zu zeigen ist, dass $K(A):K$ algebraisch ist.
Überlege dir bitte zunächst, dass $K(A)$ die Vereinigung aller $K(B)$ ist mit endlichen $B$, $B [mm] \subseteq [/mm] A$. Führe dies detailliert aus.
So, nun geht es wie folgt weiter:
Für $x [mm] \in [/mm] K(A)$ gibt es nach dem dann Gezeigten endlich viele algebraische Elemente [mm] $a_1,\ldots,a_n$ [/mm] mit $x [mm] \in K(a_1,\ldots,a_n)$.
[/mm]
Dann ist aber klar, dass $x$ algebraisch ist (z.B. wie man zum Beispiel über Induktion zeigen kann, denn Körpererweiterungen, die durch Adjunktion eines algebraischen Elements entstehen, sind ja algebraisch).
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Jay-G |
Danke!
Das entscheidende war wie Du geschrieben hast, dass jedes Element des K(A) bereits in einem Teilkörper K(B) enthalten ist, der durch Adjunktion nur endlich vieler algebrischer Elemente zu K entstanden ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Do 25.08.2005 | | Autor: | Jay-G |
Hallo,
noch eine weitere kleine Frage:
Wenn ich also zu K a1,a2,.... also unendlich viele algebraische Elemente adjungiere, gehört dann das gebilde [mm] \produkt_{i=1}^{\infty}a_i [/mm] auch zu meinem erhaltenen Gebilde oder kann es das gar nicht geben (Wohldefiniertheit oder sowas) ?
Danke im voraus!
Viele Grüße,
Jürgen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Do 25.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Unendliche Produkte von Körperelementen sind a priori nicht definiert. Erst wenn man einen Körper mit einer Metrik (o.ä.) ausstattet und dort Konvergenzaussagen treffen kann, macht so etwas Sinn.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:07 Do 25.08.2005 | | Autor: | Jay-G |
Danke!
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