Algebraische Unabhängigkeit < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Sa 02.08.2014 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | | Es sei K ein Körper, A eine endlich erzeugte K-Algebra. Die Elemente [mm] y_{1},...,y_{m} \in [/mm] A heißen algebraisch unabhängig über K, falls kein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom [mm] f(t_{1},...,t_{m}) \in K[t_{1},...,t_{m}] [/mm] mit [mm] f(y_{1},...,y_{m})=0 [/mm] existiert. |
Hallo,
bin grad dabei, diese Definition kurz auf mich wirken zu lassen. Aber leider fällt mir hierzu kein schönes Beispiel ein, um es ein bisschen zu veranschaulichen.
Hat jemand vllt ne Idee? 
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Sa 02.08.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Topologe,
Zum Beispiel bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia findest du: [mm] \IQ(X,Y).
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 So 03.08.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei K ein Körper, A eine endlich erzeugte K-Algebra.
> Die Elemente [mm]y_{1},...,y_{m} \in[/mm] A heißen algebraisch
> unabhängig über K, falls kein vom Nullpolynom
> verschiedenes Polynom [mm]f(t_{1},...,t_{m}) \in K[t_{1},...,t_{m}][/mm]
> mit [mm]f(y_{1},...,y_{m})=0[/mm] existiert.
Das klassische Beispiel ist $A = [mm] K[X_1, \dots, X_m]$: [/mm] dann sind [mm] $X_1, \dots, X_m$ [/mm] algebraisch unabhaengig ueber $K$.
Man kann auch zeigen: sind [mm] $y_1, \dots, y_m$ [/mm] algebraisch unabhaengig ueber $K$, und ist $B = [mm] K[y_1, \dots, y_m]$ [/mm] die kleinste $K$-Algebra, die [mm] $y_1, \dots, y_m$ [/mm] umfasst, so ist die Abbildung [mm] $K[X_1, \dots, X_m] \to [/mm] B$, [mm] $f(X_1, \dots, X_m) \mapsto f(y_1, \dots, y_m)$ [/mm] ein Isomorphismus. (Die Surjektivitaet ist recht einfach, und die Injektivitaet folgt direkt aus der Definition von alg. unabhaengig.)
Der Polynomring ist also das Beispiel ueberhaupt
Ansonsten: ist $L/K$ eine Koerpererweiterung und ist $x [mm] \in [/mm] L$, so ist $x$ transzendent ueber $K$ genau dann, wenn $x$ algebraisch unabhaengig ueber $K$ ist. Also ist z.B. [mm] $\pi$ [/mm] algebraisch unabhaengig ueber [mm] $\IQ$.
[/mm]
LG Felix
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