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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Fr 25.02.2011 | | Autor: | Matti87 |
| Aufgabe | Als Grundvariablenmenge aller vorkommenden Variablen wähle man stets die Menge der reellen Zahlen.
Sei p eine reelle Zahl und sei (p - [mm] 1)x^2 [/mm] – 2(p + 1)x + p + 1 = 0. Dann gilt
|L| = 1 [mm] \gdw [/mm] p [mm] \in [/mm] {–1, 1}. |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich würde mich sehr über einen Tipp freuen, wie ich das am besten beweise.
Soll ich zu erst [mm] "\Leftarrow" [/mm] und dann [mm] "\Rightarrow" [/mm] beweisen oder geht das einfacher?
Wenn ja, dann bräuchte ich einen Tipp wie die Richtung [mm] "\Rightarrow" [/mm] beweisen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Fr 25.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Als Grundvariablenmenge aller vorkommenden Variablen wähle
> man stets die Menge der reellen Zahlen.
>
> Sei p eine reelle Zahl und sei (p - [mm]1)x^2[/mm] – 2(p + 1)x + p
> + 1 = 0. Dann gilt
> |L| = 1 [mm]\gdw[/mm] p [mm]\in[/mm] {–1, 1}.
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> ich würde mich sehr über einen Tipp freuen, wie ich das
> am besten beweise.
> Soll ich zu erst [mm]"\Leftarrow"[/mm] und dann [mm]"\Rightarrow"[/mm]
> beweisen oder geht das einfacher?
> Wenn ja, dann bräuchte ich einen Tipp wie die Richtung
> [mm]"\Rightarrow"[/mm] beweisen kann.
Setze in die quadratische Gleichung für x den Wert +1 bzw -1 ein. Damit bekommst du eine Gleichung zur Ermittlung möglicher p.
Gruß Abakus
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Hallo Matti87,
> Als Grundvariablenmenge aller vorkommenden Variablen wähle
> man stets die Menge der reellen Zahlen.
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> Sei p eine reelle Zahl und sei (p - [mm]1)x^2[/mm] – 2(p + 1)x + p
> + 1 = 0. Dann gilt
> |L| = 1 [mm]\gdw[/mm] p [mm]\in[/mm] {–1, 1}.
Ich nehme an, dass $|L|=1$ bedeuten soll, dass es eine eind. Lösung gibt?
Ansonsten sage, was $L$ sein soll!
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> ich würde mich sehr über einen Tipp freuen, wie ich das
> am besten beweise.
> Soll ich zu erst <IMG class=latex alt=$ src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$$" _cke_realelement="true" [mm] \Leftarrow?? \Leftarrow?$?> [/mm] und dann <IMG class=latex alt=$ src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$$" _cke_realelement="true" [mm] \Rightarrow?? \Rightarrow?$?> [/mm]
> beweisen oder geht das einfacher?
> Wenn ja, dann bräuchte ich einen Tipp wie die Richtung
> <IMG class=latex alt=$ src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$$" _cke_realelement="true" [mm] \Rightarrow?? \Rightarrow?$?> [/mm] beweisen kann.
[mm] $\Leftarrow$ [/mm] ist triviales Einsetzen.
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] mache so:
Sei $|L|=1$ und [mm] $p\neq [/mm] 1$
Folgere durch simples Lösen der quadratischen Gleichung unter Beachtung, dass $|L|=1$ ist, dass $p=-1$ sein muss.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Fr 25.02.2011 | | Autor: | Matti87 |
| Aufgabe | Als Grundvariablenmenge aller vorkommenden Variablen wähle man stets die Menge der reellen Zahlen.
Sei p eine reelle Zahl und sei (p - $ [mm] 1)x^2 [/mm] $ – 2(p + 1)x + p + 1 = 0. Dann gilt
|L| = 1 $ [mm] \gdw [/mm] $ p $ [mm] \in [/mm] $ {–1, 1}. |
Danke schonmal für die Antworten.
Ja, das |L|=1 soll bedeuten, dass die Gleichung nur eine Lösung hat, genau dann wenn p $ [mm] \in [/mm] $ {–1, 1}.
Also ich glaube ich habs hinbekommen.
[mm] "\Leftarrow":
[/mm]
(Einsetzen und fertig!)
[mm] "\Rightarrow":
[/mm]
Sei |L|=1 und p [mm] \not=1.
[/mm]
Dann gilt:
(p - $ [mm] 1)x^2 [/mm] $ – 2(p + 1)x + p + 1 = 0 [mm] \gdw [/mm] (x - [mm] \bruch{p+1}{p-1})^2 [/mm] = - [mm] \bruch{p+1}{p-1} [/mm] + [mm] (\bruch{p+1}{p-1})^2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (x - [mm] \bruch{p+1}{p-1})^2 [/mm] = - [mm] \bruch{(p+1)(p-1)}{(p-1)^2} [/mm] + [mm] \bruch{(p+1)^2}{(p-1)^2}
[/mm]
Nun hat die Gleichung genau dann eine Lösung, wenn (p+1)(p-1) + [mm] (p+1)^2 [/mm] = 0 ist.
Und das ist dann (nach Umforumung), wenn p = -1.
Wäre das dann hiermit ausreichend bewiesen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Fr 25.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Als Grundvariablenmenge aller vorkommenden Variablen wähle
> man stets die Menge der reellen Zahlen.
>
> Sei p eine reelle Zahl und sei (p - [mm]1)x^2[/mm] – 2(p + 1)x + p
> + 1 = 0. Dann gilt
> |L| = 1 [mm]\gdw[/mm] p [mm]\in[/mm] {–1, 1}.
>
> Danke schonmal für die Antworten.
> Ja, das |L|=1 soll bedeuten, dass die Gleichung nur eine
> Lösung hat, genau dann wenn p [mm]\in[/mm] {–1, 1}.
>
> Also ich glaube ich habs hinbekommen.
>
> [mm]"\Leftarrow":[/mm]
> (Einsetzen und fertig!)
>
> [mm]"\Rightarrow":[/mm]
> Sei |L|=1 und p [mm]\not=1.[/mm]
>
> Dann gilt:
> (p - [mm]1)x^2[/mm] – 2(p + 1)x + p + 1 = 0 [mm]\gdw[/mm] (x -
> [mm]\bruch{p+1}{p-1})^2[/mm] = - [mm]\bruch{p+1}{p-1}[/mm] +
> [mm](\bruch{p+1}{p-1})^2[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] (x - [mm]\bruch{p+1}{p-1})^2[/mm] = -
> [mm]\bruch{(p+1)(p-1)}{(p-1)^2}[/mm] + [mm]\bruch{(p+1)^2}{(p-1)^2}[/mm]
>
> Nun hat die Gleichung genau dann eine Lösung, wenn
> (p+1)(p-1) + [mm](p+1)^2[/mm] = 0 ist.
> Und das ist dann (nach Umforumung), wenn p = -1.
>
>
> Wäre das dann hiermit ausreichend bewiesen?
Nein.
Was ist im Fall p=1?
Gruß Abakus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Fr 25.02.2011 | | Autor: | Matti87 |
| Aufgabe | Als Grundvariablenmenge aller vorkommenden Variablen wähle man stets die Menge der reellen Zahlen.
Sei p eine reelle Zahl und sei (p - $ [mm] 1)x^2 [/mm] $ – 2(p + 1)x + p + 1 = 0. Dann gilt
|L| = 1 $ [mm] \gdw [/mm] $ p $ [mm] \in [/mm] $ {–1, 1}. |
Hm.. das noch ergänzend?
Wenn p = 1. Dann gilt -4x + 2 = 0.
Und das hat, auf jeden Fall nur eine Lösung, nämlich x = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] .
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Fr 25.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Als Grundvariablenmenge aller vorkommenden Variablen wähle
> man stets die Menge der reellen Zahlen.
>
> Sei p eine reelle Zahl und sei (p - [mm]1)x^2[/mm] – 2(p + 1)x + p
> + 1 = 0. Dann gilt
> |L| = 1 [mm]\gdw[/mm] p [mm]\in[/mm] {–1, 1}.
> Hm.. das noch ergänzend?
>
> Wenn p = 1. Dann gilt -4x + 2 = 0.
> Und das hat, auf jeden Fall nur eine Lösung, nämlich x =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] .
Schon besser 
Jetzt die andere Richtung.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Fr 25.02.2011 | | Autor: | Matti87 |
| Aufgabe | Als Grundvariablenmenge aller vorkommenden Variablen wähle man stets die Menge der reellen Zahlen.
Sei p eine reelle Zahl und sei (p - $ [mm] 1)x^2 [/mm] $ – 2(p + 1)x + p + 1 = 0. Dann gilt
|L| = 1 $ [mm] \gdw [/mm] $ p $ [mm] \in [/mm] $ {–1, 1}. |
> Schon besser
> Jetzt die andere Richtung.
Wie meinste das denn jetzt? Ich hab doch schon beide Richtungen oder?
Ich schreibs nochmal sauber auf:
$ [mm] "\Leftarrow": [/mm] $
Sei p = -1. Dann bekommt man raus x = 1.
Damit wäre |L| = 1 erfüllt.
Sei p = 1. Dann kommt x = -1 raus,
was ebenfalls |L| = 1 erfüllt.
$ [mm] "\Rightarrow": [/mm] $
Sei |L|=1.
1. Fall: p $ [mm] \not= [/mm] 1 $
(p - $ [mm] 1)x^2 [/mm] $ – 2(p + 1)x + p + 1 = 0 $ [mm] \gdw [/mm] $ (x - $ [mm] \bruch{p+1}{p-1})^2 [/mm] $ = - $ [mm] \bruch{p+1}{p-1} [/mm] $ + $ [mm] (\bruch{p+1}{p-1})^2 [/mm] $
$ [mm] \gdw [/mm] $ (x - $ [mm] \bruch{p+1}{p-1})^2 [/mm] $ = - $ [mm] \bruch{(p+1)(p-1)}{(p-1)^2} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{(p+1)^2}{(p-1)^2} [/mm] $
Nun hat die Gleichung genau dann eine Lösung, wenn (p+1)(p-1) + $ [mm] (p+1)^2 [/mm] $ = 0 ist.
Und das ist dann (nach Umforumung), wenn p = -1.
2. Fall: p = 1
Jetzt gilt sowieso x = [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Wären damit nicht alle Fälle erledigt?
Tut mir Leid, dass das Antworten solange dauert, aber irgendwas stimmt mit dem Server hier nicht...
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Hallo,
> Als Grundvariablenmenge aller vorkommenden Variablen wähle
> man stets die Menge der reellen Zahlen.
>
> Sei p eine reelle Zahl und sei (p - [mm]1)x^2[/mm] – 2(p + 1)x + p
> + 1 = 0. Dann gilt
> |L| = 1 [mm]\gdw[/mm] p [mm]\in[/mm] {–1, 1}.
> > Schon besser
> > Jetzt die andere Richtung.
>
> Wie meinste das denn jetzt? Ich hab doch schon beide
> Richtungen oder?
> Ich schreibs nochmal sauber auf:
>
> [mm]"\Leftarrow":[/mm]
>
> Sei p = -1. Dann bekommt man raus x = 1.
> Damit wäre |L| = 1 erfüllt.
>
> Sei p = 1. Dann kommt x = -1 raus,
> was ebenfalls |L| = 1 erfüllt.
>
>
> [mm]"\Rightarrow":[/mm]
> Sei |L|=1.
>
> 1. Fall: p [mm]\not= 1[/mm]
>
> (p - [mm]1)x^2[/mm] – 2(p + 1)x + p + 1 = 0
> [mm]\gdw[/mm] (x - [mm]\bruch{p+1}{p-1})^2[/mm] = - [mm]\bruch{p+1}{p-1}[/mm] + [mm](\bruch{p+1}{p-1})^2[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] (x - [mm]\bruch{p+1}{p-1})^2[/mm] = - [mm]\bruch{(p+1)(p-1)}{(p-1)^2}[/mm] + [mm]\bruch{(p+1)^2}{(p-1)^2}[/mm]
>
> Nun hat die Gleichung genau dann eine Lösung, wenn
> [mm] \red{-}(p+1)(p-1) [/mm] + [mm](p+1)^2[/mm] = 0 ist.
Das ist evt. gar nicht so klar, dann würde ich noch ganz kurz ne Begründung dazu schreiben.
> Und das ist dann (nach Umforumung), wenn p = -1.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> 2. Fall: p = 1
>
> Jetzt gilt sowieso x = [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]
>
>
> Wären damit nicht alle Fälle erledigt?
Jo
>
> Tut mir Leid, dass das Antworten solange dauert, aber
> irgendwas stimmt mit dem Server hier nicht...
hm.. möglich. Hängt bei mir auch gerade etwas.
Gruß
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