Alle 2x2 matrizen mit A²=0 < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper. Bestimmen sie alle [mm] A\in M_{22}(K) [/mm] mit AA=A²=0.
Ich habe eine Matrix mit a,b,c,d gemacht und multipliziert.
Daraus folgende Gleichungen bekommen:
a²+cb=0
ac+cd=0
ab+bd=0
cb+d²=0
ich hab die erste gleichung minus die vierte
a²-d² =0
und bei der zweiten und dritten c und d ausgeklammert
c(a+d) = 0
b(a+d) = 0
also hätte ich schon a = -d?
tja und die Nullmatrix, weiter weiß ich nicht...
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hab ich etwas vergessen, falsch gemacht?
vielen dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Aus deinen Gleichungen kannst du ableiten:
1.) falls $\ a+d=0$ , wird $\ A*A=0$
(ganz unabhängig von den Werten von b und c,
die also dann ganz frei gewählt werden könnten)
2.) falls $\ a+d [mm] \not=0$ [/mm] ist, so müssen die folgenden
3 Gleichungen alle erfüllt sein:
$\ (i)\ a-d=0$ , also $\ a=d$
Grund: $\ [mm] a^2-d^2=(a+d)*(a-d)=0$ [/mm] mit $\ a+d [mm] \not=0$ [/mm] führt auf $\ a-d=0$
$\ (ii)\ b=0$
$\ (iii)\ c=0$
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:28 Fr 14.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Aus deinen Gleichungen kannst du ableiten:
>
> 1.) falls [mm]\ a+d=0[/mm] , wird [mm]\ A*A=0[/mm]
>
> (ganz unabhängig von den Werten von b und c,
> die also dann ganz frei gewählt werden könnten)
Und was ist mit der Matrix [mm] $\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }$? [/mm] Dessen Quadrat ist die Einheitsmatrix, obwohl $a + d = 1 + (-1) = 0$ ist.
> 2.) falls [mm]\ a+d \not=0[/mm] ist, so müssen die folgenden
> 3 Gleichungen alle erfüllt sein:
>
> [mm]\ (i)\ a-d=0[/mm] , also [mm]\ a=d[/mm]
>
> Grund: [mm]\ a^2-d^2=(a+d)*(a-d)=0[/mm] mit [mm]\ a+d \not=0[/mm]
> führt auf [mm]\ a-d=0[/mm]
Genau.
> [mm]\ (ii)\ b=0[/mm]
>
> [mm]\ (iii)\ c=0[/mm]
Hier haben wir wieder das gleiche Problem: die Einheitsmatrix (welche $a = d = 1$ erfuellt) ist nicht nilpotent.
LG Felix
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 23:32 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Al-Chwarizmi |
Da war ich vorher wohl etwas zu vorschnell.
Aus [mm] (a^2+bc=0\wedge bc+d^2=0) [/mm] folgt zwar [mm] (a^2=d^2),
[/mm]
aber die Umkehrung gilt nicht. Das hatte ich übersehen.
Gruß Al
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ah, dankeschön. ich hatte auch eine vorzeichenfehler, bei a=d. das mit den anderen bedingungen ist auch klar.
also vielen dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Fr 14.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei K ein Körper. Bestimmen sie alle [mm]A\in M_{22}(K)[/mm] mit
> AA=A²=0.
>
> Ich habe eine Matrix mit a,b,c,d gemacht und
> multipliziert.
Du meinst $A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }$?
[/mm]
> Daraus folgende Gleichungen bekommen:
> a²+cb=0
> ac+cd=0
> ab+bd=0
> cb+d²=0
Genau.
> ich hab die erste gleichung minus die vierte
>
> a²-d² =0
Daraus folgt $a = d$ oder $a = -d$.
Ist $a = d$, so hat man die Gleichungen [mm] $a^2 [/mm] + c b = 0$ und $2 a c = 0$ und $2 a d = 0$; ist also $a = d [mm] \neq [/mm] 0$, so muss $2 c = 0 = 2 d$ sein.
Ist in $K$ $2 [mm] \neq [/mm] 0$, so ergibt sich $c = d = 0$, womit aus [mm] $a^2 [/mm] + c b = 0$ die Gleichung [mm] $a^2 [/mm] = 0$ wird, also $a = d = 0$. Damit hat man die Nullmatrix.
Ist $a = d = 0$, so bleibt die Gleichung $b c = 0$. Daraus folgt $b = 0$ oder $c = 0$, und jede solche Wahl (mit $c$ bzw. $b$ dann beliebig) erfuellt die Aussage.
Ist $a = -d$ und $a, d [mm] \neq [/mm] 0$, so argumentiert man aehnlich und bekommt weitere Bedingungen.
LG Felix
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