Alle Ableitungen k=1,...,n < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:55 Di 19.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich soll alle Ableitungen [mm] f^{k} [/mm] von k=1,..,n bestimmen.
[mm] f(x)=x^{n+1}
[/mm]
[mm] f'(x)=(n+1)*x^{n+1-1}
[/mm]
[mm] f''(x)=(n+1)*(n+1-1)*x^{n+1-1-1}
[/mm]
[mm] f'''(x)=(n+1)*(n+1-1)*(n+1-1-1)*x^{n+1-1-1-1}
[/mm]
Bei Taylor bin ich da wohl an der ganz falschen Adresse?
Ich muss das also irgendwie über ein Produkt [mm] \produkt_{k=1}^{n} [/mm] berechnen, oder? Aber ich komme einfach nicht drauf.
MfG
barsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Harris |
wie du die ersten Ableitungen schon richtig hingeschrieben hast, ist es eigentlich schon ok!
nur dir ist wohl noch nicht aufgefallen, dass die k-te Ableitung von [mm] x^{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!}{k!} [/mm] * [mm] x^{n+1-k} [/mm] ist
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Mi 20.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ist mir nicht aufgefallen, danke.
Aber das k! im Nenner verstehe ich nicht?!
> nur dir ist wohl noch nicht aufgefallen, dass die k-te
> Ableitung von [mm]x^{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{(n+1)!}{k!}[/mm] * [mm]x^{n+1-k}[/mm] ist
MfG
barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Harris |
Am besten nimmst du [mm] x^m, [/mm] mit m = n+1, da isses leichter zu sehen
also... die 4. Ableitung von [mm] x^m [/mm] ist m * (m-1) * (m-2) * (m-3) * [mm] x^{m-k} [/mm] okay?
das ist ja das gleiche wie (wenn absofort k und nicht 4 steht:
[mm] \bruch{m * (m-1) * (m-2) * ... * (m-k+1) * (m-k) * ... * 2 * 1}{(m-k) * ... * 2 * 1} [/mm] * [mm] x^{m-k}, [/mm] weil du ja mit (m-k) * ... * 2 * 1 nur erweitet hast
und das ist aber [mm] \bruch{m!}{(m-k)!} [/mm] * [mm] x^{m-k}
[/mm]
und da du m=n+1 am Anfang hast, steht dann da
[mm] \bruch{(n+1)!}{(n-k+1)!} [/mm] * [mm] x^{n-k+1} [/mm] = [mm] f^{(k)}(x)
[/mm]
und hier habe ich bemerkt, dass ich nen fehler reingetippt habe... muss natürlich (n-k)! statt k! sein! sorry 
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