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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Mi 06.06.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Man bestimme alle Gruppenhomomorphismen von [mm] $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+) [/mm] $ nach [mm] $(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z},+) [/mm] $ |
Nun, sei $f: [mm] \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} [/mm] $ein Homomorphismus.
Setze $a:= f(1).$ Ersichtlich gilt $f(k) = kf(1) = ka. $
Aber, wie kann ich daraus die Anzahl der gesuchten Homomorphismen ablesen? Kann mir da jemand helfen?
Ich bin mir jedenfalls nur sicher, dass es den trivialen Homomorphismus $f(0)=0$ gibt.
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Hallo,
> Man bestimme alle Gruppenhomomorphismen von
> [mm](\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+)[/mm] nach
> [mm](\mathbb{Z}/9\mathbb{Z},+)[/mm]
>
>
> Nun, sei [mm]f: \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} [/mm]ein
> Homomorphismus.
> Setze [mm]a:= f(1).[/mm] Ersichtlich gilt [mm]f(k) = kf(1) = ka.[/mm]
Du hast richtig erkannt, dass jeder Homomorphismus durch das Bild der 1 eindeutig bestimmt ist.
Überlege dir nun für welche k Gruppenhomomorphismen entstehen
(Tipp: die Ordnung von f(a) ist ein Teiler der Ordnung von a)
LG
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