Allg. Darstellung d. W-lichkei < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Anton und Berta spielen nacheinander mehrere Schachpartien. Das Spiel ist beendet, sobald insgesamt zwei Partien gewonnen wurden. Wenn ein Spieler zwei Partien gewonnen hat, dann ist dieser Spieler der Sieger. Ansonsten ist das Spiel unentschieden ausgegangen. Bei jeder Partie sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse Anton gewinnt, Anton verliert und Anton spielt unentschieden gleich groß. Die Zufallsvariable Z gibt an, nach wie vielen Partien (n = 2, 3, 4, . . .) das Spiel zu Ende
ist.
a) Berechne P({Z = n}) für n = 2, 3, 4 und bestimme den allgemeinen Ausdruck zur Berechnung von P({Z = n}).
b) Wie viele Partien werden im Mittel gespielt, bis das Spiel beendet ist? |
Hallo,
Sehe ich richtig, dass hier der Wahrscheinlichkeitsraum [mm] \{AA, BB, UAA, UBB, UABA, UBAB, ...\} [/mm] ist? Weiter komme ich aber nicht.
Wäre um jede Hilfe dankbar.
Gruß Markus
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Do 29.11.2007 | | Autor: | Der.Franke |
Ich saß jetzt den ganzen Nachmittag dran und hab versucht einen Ansatz zu finden - ging nicht. Wie soll ich hier anfangen? Wenn ich mir vorstelle ich würde mit jemandem so spielen, wie in der Aufgabe vorgegeben, ergibt sich hier ja ein Endlosspiel. Aber wie soll ich das in eine mathematische Formel packen?
Gruß Markus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Do 29.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Markus,
schauen wir uns einmal das Ereignis $(Z=n)$ genauer an. Zunaechst
bedeutet das, dass A oder B die $n$-te Partie gewinnt. Ich betrachte mal
den Fall, dass A diese Partie gewinnt (und verdopple spaeter die
ermittelte Wsk um den anderen Fall zu beruecksichtigen).
Wenn A die $n$-te Partie gewinnt und damit das Spiel beendet ist, muss A
in den $n-1$ Partien zuvor noch eine gewonnen haben. Was ist mit den
restlichen $n-2$ Partien? Die koennen alle unentschieden ausgegangen
sein (Fall I) oder aber B hat genau eine dieser Partien gewonnen und der
Rest ging unentschieden aus (Fall II).
Fuer Fall I gibt es $n-1$ Moeglichkeiten, fuer Fall II gibt es
$(n-1)(n-2)$ Moeglichkeiten. Jetzt kommt's: Jeder dieser verschiedenen Ausgaenge
besitzt die Wahrscheinlichkeit [mm] $(1/3)^n$ [/mm] (du hast $n$ Partien, jede
kannst du mit A, U oder B identifizieren). Damit ist die gesuchte Wsk, dass mit
dem Sieg von A in der $n$-ten Partie das Spiel beendet ist, gegeben durch
[mm] $[(n-1)+(n-1)(n-2)](1/3)^n=(n-1)^2(1/3)^n$
[/mm]
Beruecksichtigen wir jetzt noch, dass mit
dem Sieg von B in der $n$-ten Partie das Spiel beendet ist, finden wir
[mm] $P(Z=n)=2(n-1)^2(1/3)^n$
[/mm]
fuer $n=2,3,4,...$
Um den Erwartungswert zu bestimmen, ist
[mm] $2\sum_{n=2}^\infty n(n-1)^2(1/3)^n [/mm] $
zu errechnen. Mathematica liefert mir hier den Wert 15/4. Wie kann man
das "zu Fuss" berechnen? Bedenke, dass [mm] $\sum_{i=0}^\infty q^i=1/(1-q)$
[/mm]
fuer $|q|<1$. Leite ich beide Seite ab, so erhalte ich eine Formel
fuer [mm] $\sum_{i=0}^\infty iq^{i-1}=\sum_{i=1}^\infty iq^{i-1}$ [/mm] und somit fuer [mm] $\sum_{i=1}^\infty iq^{i}$. [/mm] Leite ich
diesen Audruck ab, so erhalte ich eine Formel fuer [mm] $\sum_{i=1}^\infty i(i-1)q^{i-2}=\sum_{i=2}^\infty i(i-1)q^{i-2}$ [/mm] und somit fuer [mm] $\sum_{i=1}^\infty i^2q^i$ [/mm] usw.
Hoffe, dass das zunaechst einmal reicht.
lg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Do 29.11.2007 | | Autor: | Der.Franke |
Hallo Luis,
vielen Dank. Ich mache mich jetzt dran, das zu verstehen, und werde, sobald ich die Ergebnisse habe, diese hier posten. Ohne Fehler. Versprochen!
Grüße Markus
|
|
|
|
