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| Aufgabe | Implementieren Sie das allgemeine Iterationsverfahren für Systeme. Wenden Sie ihr Programm an auf das folgende Beispiel:
Gesucht werden die Fixpunkte der in G=[0,[mm]\Pi[/mm]]x[0,[mm]\Pi[/mm]] definierten Funktion
[mm]\vec \varphi = {1+\bruch{1}{2}sin(x)-\bruch{cos(y²)}{10}\choose 2-\bruch{1}{3}sin(\bruch{x}{2}+\bruch{y}{10}} [/mm] , [mm]\vec x ={x \choose y}[/mm] |
Hallo Freunde,
irgendwie stehe ich total auf dem Schlauch.
Also als erstes muss ich das Problem in eine iterierfähige Form bringen: [mm]\vec x=\vec \varphi(\vec x)[/mm]
Ist das so richtig?
Dann setz ich alles in folgende Formel ein:
[mm]\varphi(\vec x)=\vec x -B(\vec x)*\vec f(\vec x)[/mm]
Was stellt die B-Matrix (n,n) hier da? und was soll ich für [mm]\vec f[/mm] einsetzen?
Danke für die Mühe
Gruß mexo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Do 01.05.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Also als erstes muss ich das Problem in eine iterierfähige
> Form bringen: [mm]\vec x=\vec \varphi(\vec x)[/mm]
Jein. Alle Verfahren zur Suche von Fixpunkten über eine Nullstellensuche hinaus:
f(x*)=x* ist das gleiche wie f(x*)-x*=0.
Also wenn du eine Funktion [mm] \gamma [/mm] gegeben hast, dann willst du mit der Funktion [mm] g(x):=\gamma(x)-x [/mm] iterieren bis du ein x* findest, s.d. g(x*)=0. (Das Sternchen ist im Einklang mit der Notation für einen Fixpunkt.)
> Ist das so
> richtig?
> Dann setz ich alles in folgende Formel ein:
> [mm]\varphi(\vec x)=\vec x -B(\vec x)*\vec f(\vec x)[/mm]
> Was
> stellt die B-Matrix (n,n) hier da? und was soll ich für
> [mm]\vec f[/mm] einsetzen?
Ich würde sagen das ist eine seltsame (und nicht korrekte) Notation für das ![[]](/images/popup.gif) Newton-Verfahren. Man iteriert mit [mm] x_{n+1}=x_{n}-\bruch{g(x_{n})}{g'(x_{n})}. [/mm] Bei dir ist B wahrscheinlich die invertierte Jacobi Matrix und f ist das oben beschriebene g.
Gruss,
dormant
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Hallo dormant,
ich habe mal die dazugehörige Hilfe zur Aufgabe hochgeladen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hoffe du oder jemand anders kann was damit anfangen.
Ich zumindest blicke da nicht durch.
Das [mm]\vec f[/mm] soll also dein beschriebenes g sein.
Die Matrix [mm]B(\vec x)[/mm] ist mir immer noch schleierhaft.
Gruß mexo
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo mexoticom,
> Hallo dormant,
>
> ich habe mal die dazugehörige Hilfe zur Aufgabe
> hochgeladen.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hoffe du oder jemand anders kann was damit anfangen.
> Ich zumindest blicke da nicht durch.
> Das [mm]\vec f[/mm] soll also dein beschriebenes g sein.
> Die Matrix [mm]B(\vec x)[/mm] ist mir immer noch schleierhaft.
[mm]\overrightarrow{\varphi}\left(x,y\right)=\pmat{f_{1}\left(x,y\right) \\ f_{2}\left(x,y\right)}[/mm]
Nun suchst Du einen Fixpunkt:
Also die Lösung von
[mm]\pmat{f_{1}\left(x,y\right) \\ f_{2}\left(x,y\right)}=\pmat{x \\ y}[/mm]
bzw.
[mm]\pmat{f_{1}\left(x,y\right) -x \\ f_{2}\left(x,y\right) - y}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
Solche Gleichungssysteme löst man, in dem man die gegeben Funktionen in einem Punkt durch ihre Tangentialebene annähert.
Nach ein bischen Umstellung hast Du dann die von Dir gewünschte Form.
Dann erklärt sich auch die Matrix B.
>
> Gruß mexo
Gruß
MathePower
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