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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 So 06.05.2012 | | Autor: | alikah |
Ich habe mal eine allgemeine Frage. Wie kann ich überprüfen, ob ich ein relatives oder ein absolutes Maximum / Minimum habe?
Mein Lehrer erwähnt immer die Randextrema.
Kann mir da jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Naja du wirst bisher ja die Werkzeuge für eine Kurvendiskussion gelernt haben, korrekt? Du weißt also, wie du die Extremwerte einer Funktion berechnest. Nehmen wir als Beispiel [mm] x^2. [/mm] Dort wirst du recht schnell auf die Lösung [mm] $x_E=0$ [/mm] kommen und mithilfe der 2. Ableitung feststellen, dass es sich um einen Tiefpunkt handelt. Aus dem Graphen ist außerdem sofort ersichtlich, dass es keinen anderen TP geben kann -> global. Aber genau das ist der Knackpunkt: Was wäre gewesen, wenn du keinen Graphen gehabt hättest ? Natürlich ist diese Frage nur relevant, wenn die Kurve ihren Verlauf mehrfach ändert oder aber du es mit zusammengesetzten Funktionen zu tun hast.
Also du erhälst rechnerisch nur die Extremstellen, die eine waagrechte Tangente haben. Jetzt stell dir einfach vor, wir suchen den Extremwert von [mm] x^2, [/mm] aber diesmal den Hochpunkt. Dazu schränken wir den Untersuchungsbereich auf ein Intervall $I=[-1,1]$ ein. Deine Ableitungen werden dir keinen Hochpunkt liefern, daher musst du analytisch vorgehen: Du weißt, dass es einen TP bei 0 gibt. Davon ausgehend werden alle Werte links und rechts vom TP im gleichen Maße größer und positiv. Daher können die Maxima der Funktion [mm] $y=x^2$ [/mm] im Intervall $I$ nur bei x=1 und x=-1 liegen, es gibt also zwei globale Maxima und das sind die Randwerte.
Zusammengefasst: Du musst immer dann die Randwerte untersuchen, wenn du eine auf ein Intervall beschränkte Funktion hast oder sie zusammengesetzt ist. Mit der Kurvendiskussion erhälst du ja niemals Aussagen über die Randpunkte, da dort meistens keine waagerechte Tangente ist. Die Randpunkte sind einfach die äußersten Werte. Und die Kurvendiskussion liefert dir nur die inneren Hoch- und Tiefpunkte. Aber der Rand könnte ja ins negative Unendliche gehen. Ein Intervall schneidet nun davon bei -5 ein Stück ab und damit ist dieser Punkt vielleicht viel tiefer als dein LOKALER Tiefpunkt. Siehe z.B. [mm] $x^3+5x^2+x$. [/mm] Du hast einen lokalen TP bei 0. Ein globaler wäre aber bei einem Intervall von [-5,5] sicherlich bei -5 und nicht 0, da dort die Funktion negative Werte annimmt.
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