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| Aufgabe | Bestimme die allgemeine Lösung der DGL:
(1-x)y''(x)+xy'(x)-y(x) [mm] =\bruch{(1-x)^2}{x} [/mm] ; [mm] x\{0}
[/mm]
Für einen Ansatz probiere die Funktionen [mm] x^{r} [/mm] und [mm] e^{sx} [/mm] |
ich habe den Ansatz [mm] x^{r} [/mm] versucht:
[mm] y'(x)=rx^{(r-1)}
[/mm]
[mm] y''(x)=r(r-1)x^{(r-2)}
[/mm]
Um die homogene Lösung zu erhalten habe ich dies dann in die Gleichung eingesetzt:
[mm] (1-x)r(r-1)x^{(r-2)}+xrx^{(r-1)}-y(x)=0
[/mm]
alles aufgelöst ergibt sich: [mm] r_{1}=1 [/mm] ..... schon mal schön
aber dann : [mm] r_{2}=\bruch{x^2}{x-1}
[/mm]
Dies ist aber nicht zielführend , oder?
Weil dann, müsste ja gelten: [mm] y(x)=C_{1}x+C_{2}x^{\bruch{x^2}{x-1}}
[/mm]
Ideen?
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Hallo photonendusche,
> Bestimme die allgemeine Lösung der DGL:
> (1-x)y''(x)+xy'(x)-y(x) [mm]=\bruch{(1-x)^2}{x}[/mm] ; [mm]x\{0}[/mm]
> Für einen Ansatz probiere die Funktionen [mm]x^{r}[/mm] und
> [mm]e^{sx}[/mm]
> ich habe den Ansatz [mm]x^{r}[/mm] versucht:
> [mm]y'(x)=rx^{(r-1)}[/mm]
> [mm]y''(x)=r(r-1)x^{(r-2)}[/mm]
>
> Um die homogene Lösung zu erhalten habe ich dies dann in
> die Gleichung eingesetzt:
> [mm](1-x)r(r-1)x^{(r-2)}+xrx^{(r-1)}-y(x)=0[/mm]
>
> alles aufgelöst ergibt sich: [mm]r_{1}=1[/mm] ..... schon mal
> schön
> aber dann : [mm]r_{2}=\bruch{x^2}{x-1}[/mm]
>
> Dies ist aber nicht zielführend , oder?
>
Nein, das ist nicht zielführend.
Du musst die Gleichung nach Exponenten ordnen,
und dann die Koeffizienten davor vergleichen.
> Weil dann, müsste ja gelten:
> [mm]y(x)=C_{1}x+C_{2}x^{\bruch{x^2}{x-1}}[/mm]
>
> Ideen?
Gruss
MathePower
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Ich habe irgendwie bei der Aufgabe nen Black -out.
Was meinst du mit Exponenten ordnen, kannst du mal nen Beispiel nennen bitte.
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Hallo photonendusche,
> Ich habe irgendwie bei der Aufgabe nen Black -out.
> Was meinst du mit Exponenten ordnen, kannst du mal nen
> Beispiel nennen bitte.
Wir haben die Gleichung
[mm] (1-x)r(r-1)x^{(r-2)}+xrx^{(r-1)}-x^{r}=0[/mm]
Das ergibt
[mm]\[r\,{x}^{r}-{x}^{r}-{r}^{2}\,{x}^{r-1}+r\,{x}^{r-1}+{r}^{2}\,{x}^{r-2}-r\,{x}^{r-2}=0\][/mm]
Zusammengefasst:
[mm]\left(r-1\right)*x^{r}+\left(r-r^{2}\right)*x^{r-1}+\left(r^{2}-r\right)*x^{r-2}=0[/mm]
Das kann unabhängig von x nur erfüllt werden, wenn
[mm]\left(r-1\right)=0, \ \left(r-r^{2}\right)=0, \ \left(r^{2}-r\right)=0[/mm]
erfüllt ist.
Daraus erhältst Du das "r".
Für die andere Funktion geht das ähnlich.
Gruss
MathePower
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Es ergab sich die Zeile:
[mm] (r-1)(rx^{-2}-rx^{-1}+1)=0
[/mm]
daraus ergab sich [mm] r_{2}
[/mm]
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Hallo photonendusche,
> Es ergab sich die Zeile:
> [mm](r-1)(rx^{-2}-rx^{-1}+1)=0[/mm]
> daraus ergab sich [mm]r_{2}[/mm]
Es gibt nur eine Lösung für r
Gruss
MathePower
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