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Forum "Differentialgleichungen" - Allgemeine Lösung bestimmen
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Allgemeine Lösung bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Di 25.01.2011
Autor: hamma

hallo, ich möchte die allgemeine Lösung der folgenden differentialgleichung berechnen, ich würde erst substituieren [mm] u=\bruch{y}{x} [/mm] und dann trennung der Variablen anwenden, wäre meine lösungsmethode so richtig? gibt es hierfür noch andere lösungsmethoden?

[mm] \bruch{y}{x^2}+(2y-\bruch{1}{x})y'=0 [/mm]

gruß hamma




        
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Allgemeine Lösung bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:56 Di 25.01.2011
Autor: Blech

Hi,

wieso probierst Du nicht erstmal Deinen Ansatz aus?

Ausprobieren ist wichtig. Wenn's funktioniert ist's gut, wenn es das nicht tut, ist das noch besser, weil man dann merkt, *wieso* es nicht geht. Also frag uns nicht, ob die Substitution richtig ist, sondern schreib die Rechnung, und frag, ob die stimmt. Egal was rauskommt. =)

ciao
Stefan

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Allgemeine Lösung bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Mi 26.01.2011
Autor: hamma

ok, zuerst habe ich überprüft ob die dgl exakt ist, war aber nicht der fall.
jetzt versuch ich es mal mit substitution:

[mm] \bruch{y}{x^2}+(2y-\bruch{1}{x})y'=0 [/mm]      /*x

[mm] \bruch{y}{x}+x(2y-\bruch{1}{x})y'=0 [/mm]

[mm] x(2y-\bruch{1}{x})y'= -\bruch{y}{x} [/mm]

y'= [mm] -\bruch{y}{x}*\bruch{1}{x(2y-\bruch{1}{x})}=-\bruch{y}{x}*\bruch{1}{(2xy-1)} [/mm]

jetzt kann ich substituieren: [mm] u=\bruch{y}{x}, [/mm] y=ux, y'=u'*x+u

wäre meine rechnung soweit korrekt?

gruß hamma



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Allgemeine Lösung bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Mi 26.01.2011
Autor: MathePower

Hallo hamma,

> ok, zuerst habe ich überprüft ob die dgl exakt ist, war
> aber nicht der fall.
>  jetzt versuch ich es mal mit substitution:
>  
> [mm]\bruch{y}{x^2}+(2y-\bruch{1}{x})y'=0[/mm]      /*x
>  
> [mm]\bruch{y}{x}+x(2y-\bruch{1}{x})y'=0[/mm]
>  
> [mm]x(2y-\bruch{1}{x})y'= -\bruch{y}{x}[/mm]
>  
> y'=
> [mm]-\bruch{y}{x}*\bruch{1}{x(2y-\bruch{1}{x})}=-\bruch{y}{x}*\bruch{1}{(2xy-1)}[/mm]
>  
> jetzt kann ich substituieren: [mm]u=\bruch{y}{x},[/mm] y=ux,
> y'=u'*x+u


Substituiere hier lieber u=x*y.


>  
> wäre meine rechnung soweit korrekt?


Ja.


>  
> gruß hamma
>  


Gruss
MathePower  

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Allgemeine Lösung bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:38 Do 27.01.2011
Autor: hamma

ok, ich versuchs mal mit der substitution u=xy, [mm] x=\bruch{u}{y} [/mm]

y'= [mm] \bruch{y}{x}\cdot{}\bruch{1}{(2xy-1)} [/mm]

eingestzt ergibt:

y'= [mm] \bruch{y^2}{u}\cdot{}\bruch{1}{(2u-1)} [/mm] =  [mm] \bruch{y^2}{u(2u-1)} [/mm]

müsste ich jetzt trennnung der variablen anwenden? das [mm] "y^2" [/mm] irritiert mich. mir fällt nichts ein wie ich hier weiterrechnen soll.

gruß hamma




Bezug
                                        
Bezug
Allgemeine Lösung bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:10 Do 27.01.2011
Autor: Theoretix

Hallo,


habe nicht die gesamte Posting Historie gelesen, aber an dieser Stelle hast du doch auf der linken Seite die Ableitung von y stehen, y’. Du kannst doch nun deine Variablen ordnen, bzw. trennen. Wenn du schon substituiert hast und integrieren möchtest: Entweder du passt die Integrationsgrenzen an die substutution an, oder aber du führst ein unbestimmtes Integral durch und musst am Ende wieder rücksubstituieren.

Gruß

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Bezug
Allgemeine Lösung bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:26 Do 27.01.2011
Autor: hamma

ok, danke für die hilfe.
gruß hamma

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