Allgemeine Lösung der PDG < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Sa 25.09.2010 | | Autor: | jeada |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der PDG
[mm] yu_{x} [/mm] - [mm] xu_{y} [/mm] = [mm] y^2 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe Schwierigkeiten die allgemeine Lösung hier aufzustellen. Nach einiger Recherche im Internet, habe ich das Problem so weit wie mir möglich gelöst, bin allerdings unsicher ob mein Rechenweg überhaupt zum Ziel führt.
(I): [mm] \bruch{dy}{ds} [/mm] = y
(II): [mm] \bruch{dx}{ds} [/mm] = -x
(III): [mm] \bruch{du}{ds}= y^2 [/mm] - [mm] x^2
[/mm]
Lösung von (I):
y = [mm] C_1e^s
[/mm]
Lösung von (II):
x = [mm] C_2e^{-s}
[/mm]
Einsetzen der Lösungen in (III) und lösen:
[mm] \bruch{du}{ds} [/mm] = [mm] C_1^2e^{2s} [/mm] - [mm] C_2^2e^{-2s}
[/mm]
u = [mm] \tilde{C_1}e^{2s} [/mm] + [mm] \tilde{C_2}e^{-2s} [/mm] + [mm] \tilde{C_3} [/mm]
Rückeinsetzen für [mm] \tilde{C_1} [/mm] und [mm] \tilde{C_2} [/mm] liefert:
u = [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] + [mm] \bruch{y^2}{2} [/mm] + [mm] \tilde{C_3}
[/mm]
Und
[mm] \tilde{C_3} [/mm] = u - [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] - [mm] \bruch{y^2}{2}
[/mm]
Hier stecke ich nun fest. Ich weiß absolut nicht weiter.
Ich bin um jegliche Hilfe sehr dankbar!
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Hallo jeada,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der PDG
> [mm]yu_{x}[/mm] - [mm]xu_{y}[/mm] = [mm]y^2[/mm] - [mm]x^2[/mm]
> Hallo,
> ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe Schwierigkeiten die allgemeine Lösung hier
> aufzustellen. Nach einiger Recherche im Internet, habe ich
> das Problem so weit wie mir möglich gelöst, bin
> allerdings unsicher ob mein Rechenweg überhaupt zum Ziel
> führt.
>
> (I): [mm]\bruch{dy}{ds}[/mm] = y
> (II): [mm]\bruch{dx}{ds}[/mm] = -x
> (III): [mm]\bruch{du}{ds}= y^2[/mm] - [mm]x^2[/mm]
Das charakteristische DGL-System muß doch hier lauten:
(I): [mm]\bruch{dy}{ds}[/mm] = -x
(II): [mm]\bruch{dx}{ds}[/mm] = y
(III): [mm]\bruch{du}{ds}= y^2[/mm] - [mm]x^2[/mm]
>
> Lösung von (I):
> y = [mm]C_1e^s[/mm]
>
> Lösung von (II):
> x = [mm]C_2e^{-s}[/mm]
>
> Einsetzen der Lösungen in (III) und lösen:
> [mm]\bruch{du}{ds}[/mm] = [mm]C_1^2e^{2s}[/mm] - [mm]C_2^2e^{-2s}[/mm]
> u = [mm]\tilde{C_1}e^{2s}[/mm] + [mm]\tilde{C_2}e^{-2s}[/mm] + [mm]\tilde{C_3}[/mm]
> Rückeinsetzen für [mm]\tilde{C_1}[/mm] und [mm]\tilde{C_2}[/mm] liefert:
> u = [mm]\bruch{x^2}{2}[/mm] + [mm]\bruch{y^2}{2}[/mm] + [mm]\tilde{C_3}[/mm]
> Und
> [mm]\tilde{C_3}[/mm] = u - [mm]\bruch{x^2}{2}[/mm] - [mm]\bruch{y^2}{2}[/mm]
>
> Hier stecke ich nun fest. Ich weiß absolut nicht weiter.
> Ich bin um jegliche Hilfe sehr dankbar!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Sa 25.09.2010 | | Autor: | jeada |
Danke, MathePower.
Nun weiß ich aber überhaupt nicht was ich machen muss.
Ich habe [mm] \bruch{dx}{ds} [/mm] = y mit [mm] \bruch{dy}{ds} [/mm] = -x gleichgesetzt und erhalte [mm] C_{1} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2.
[/mm]
Wie verfahre ich weiter?
Danke im Vorraus!
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Hallo jaeda,
> Danke, MathePower.
>
> Nun weiß ich aber überhaupt nicht was ich machen muss.
> Ich habe [mm]\bruch{dx}{ds}[/mm] = y mit [mm]\bruch{dy}{ds}[/mm] = -x
> gleichgesetzt und erhalte [mm]C_{1}[/mm] = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2.[/mm]
>
> Wie verfahre ich weiter?
Für das weitere Vorgehen benötigst Du die Lösungen x(s) und y(s).
>
> Danke im Vorraus!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 So 26.09.2010 | | Autor: | jeada |
Danke, MathePower.
Das hab ich auch schon probiert, aber ich weiß nichts damit anzufangen.
x(s) = ys + [mm] \tilde{C_{1}}
[/mm]
y(s) = -xs + [mm] \tilde{C_{2}}
[/mm]
Wenn ich diese nun in [mm] \bruch{du}{ds} [/mm] = [mm] y^2 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] einsetze und nach u löse bekomme ich folgenden Ausdruck: u = [mm] sy^2 [/mm] - [mm] y^2\bruch{s^3}{3} [/mm] - [mm] xys^2 [/mm] + [mm] y^2s^3 [/mm] - [mm] x^{2}s [/mm] + [mm] 2xys^2 [/mm] - [mm] y^2s^3
[/mm]
Ich versuch mich nun schon den ganzen Tag an dem Beispiel, es scheint mir aber ein "Kochrezept" zu fehlen wie man Gleichungen dieser Art löst. Macht mein Ausdrücken von u überhaupt Sinn?
Danke für die Hilfe!
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Hallo jeada,
> Danke, MathePower.
> Das hab ich auch schon probiert, aber ich weiß nichts
> damit anzufangen.
>
> x(s) = ys + [mm]\tilde{C_{1}}[/mm]
> y(s) = -xs + [mm]\tilde{C_{2}}[/mm]
>
> Wenn ich diese nun in [mm]\bruch{du}{ds}[/mm] = [mm]y^2[/mm] - [mm]x^2[/mm] einsetze
> und nach u löse bekomme ich folgenden Ausdruck: u = [mm]sy^2[/mm] -
> [mm]y^2\bruch{s^3}{3}[/mm] - [mm]xys^2[/mm] + [mm]y^2s^3[/mm] - [mm]x^{2}s[/mm] + [mm]2xys^2[/mm] -
> [mm]y^2s^3[/mm]
>
> Ich versuch mich nun schon den ganzen Tag an dem Beispiel,
> es scheint mir aber ein "Kochrezept" zu fehlen wie man
> Gleichungen dieser Art löst. Macht mein Ausdrücken von u
> überhaupt Sinn?
Zunächst einmal mußt Du die Lösung der zwei gekoppelten DGLs
[mm]\bruch{dx}{ds}=y[/mm]
[mm]\bruch{dy}{ds}=-x[/mm]
ermitteln.
Differenziere dazu die erste Gleichung nach s und
setze sie in die zweite Gleichung ein:
Aus
[mm]\bruch{dx}{ds}=y[/mm]
folgt durch Differntiation nach s:
[mm]\bruch{d^{2}x}{ds^{2}}=\ddot{x}=\dot{y}[/mm]
Dies eingesetzt in die Gleichung
[mm]\bruch{dy}{ds}=-x[/mm]
ergibt
[mm]\ddot{x}=-x \gdw \ddot{x}+x=0[/mm]
Dies ist eine DGL zweiter Ordnung in x,
deren Lösung Du bestimmt kennst.
Damit folgen dann die Lösungen x(s) und y(s).
>
> Danke für die Hilfe!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:19 So 26.09.2010 | | Autor: | jeada |
Danke schön, ich werd mich gleich dran probieren!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 So 03.10.2010 | | Autor: | jeada |
Ich bins wieder, entschuldige die ewige Fragerei aber ich hänge noch immer stark bei dem Beispiel.
Ich habe im Thread geschrieben: [mm] \bruch{du}{ds}=y^2-x^2 [/mm] , stimmt das? In der Angabe steht ja nicht [mm] (y^2-x^2)u [/mm] als Störglied sondern lediglich [mm] y^2-x^2.
[/mm]
Ich hab die DGL 2. Ordnung [mm] \ddot{x}+x=0 [/mm] gelöst und erhalte:
[mm] x(s)=C_{1}cos(s)+C_{2}sin(t) [/mm] und nach einsetzen in [mm] \bruch{dy}{ds}=-x
[/mm]
[mm] y(s)=C_{2}cos(s)-C_{1}sin(t)+C_{3}
[/mm]
Weiters hab ich versucht x(s) und y(s) in [mm] \bruch{du}{ds}=y^2-x^2 [/mm] einzusetzen, befürchte aber das ist der Falsche Schritt.
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Hallo jeada,
> Ich bins wieder, entschuldige die ewige Fragerei aber ich
> hänge noch immer stark bei dem Beispiel.
>
> Ich habe im Thread geschrieben: [mm]\bruch{du}{ds}=y^2-x^2[/mm] ,
> stimmt das? In der Angabe steht ja nicht [mm](y^2-x^2)u[/mm] als
> Störglied sondern lediglich [mm]y^2-x^2.[/mm]
>
> Ich hab die DGL 2. Ordnung [mm]\ddot{x}+x=0[/mm] gelöst und
> erhalte:
> [mm]x(s)=C_{1}cos(s)+C_{2}sin(t)[/mm] und nach einsetzen in
Hier muss doch stehen:
[mm]x(s)=C_{1}cos(s)+C_{2}sin(\blue{s})[/mm]
> [mm]\bruch{dy}{ds}=-x[/mm]
Es gilt aber auch: [mm]\bruch{dx}{ds}=y[/mm]
> [mm]y(s)=C_{2}cos(s)-C_{1}sin(t)+C_{3}[/mm]
Die Lösung y ist doch die erste Ableitung der Lösung x.
Demnach steht da nur:
[mm]y(s)=C_{2}cos(s)-C_{1}sin(s)}[/mm]
>
> Weiters hab ich versucht x(s) und y(s) in
> [mm]\bruch{du}{ds}=y^2-x^2[/mm] einzusetzen, befürchte aber das ist
> der Falsche Schritt.
>
Das ist schon der richtige Schritt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:42 Mo 04.10.2010 | | Autor: | jeada |
Ok, danke wiedermal MathePower. Du hast mir unglaublich viel geholfen! :)
Nach langem umher rechnen und Kopf zerbrechen bin ich nun zum folgendem Problem gelangt, ich wäre sehr dankbar wenn du ein letztes mal drüber schauen kannst.
Zunächst hab ich die Angabe auf die Form [mm] yu_{x}-xu_{y}+x^2-y^2=0 [/mm] gebracht und [mm] \dot{x}=y [/mm] , [mm] \dot{y}=-x [/mm] und [mm] \dot{u}=x^2-y^2 [/mm] angeschrieben. Danach deine Anweisungen befolgt und die DGL 2. Ordnung gelöst um x(s) und y(s) zu finden.
Anschließend habe ich [mm] C_{1} [/mm] und [mm] C_{2} [/mm] bestimmt:
[mm] C_{1}=xcos(s)-ysin(s)
[/mm]
[mm] C_{2}=ycos(s)+xsin(s)
[/mm]
Diese eingesetzt in [mm] x^2-y^2=(C_{1}cos(s)+C_{2}sin(s))^2-(C_{2}cos(s)-C_{1}sin(s))^2 [/mm] ergeben wie erhofft [mm] x^2-y^2.
[/mm]
Das ganze in [mm] \bruch{du}{ds} [/mm] eingesetzt und gelöst ergibt [mm] u=s(x^2-y^2)+C_{3} [/mm] was mich aber nicht weiter bringt da ich ja s nicht kenne.
Wenn ich s berechnen will, stoß ich wieder auf zwei Konstanten
Was mach ich falsch und wieso kann man [mm] y^2-x^2 [/mm] als [mm] \dot{u} [/mm] ansehen?
Worauf ich wieder zur Ausgangsgleichung gegangen bin und folgendes umgeformt habe:
[mm] \bruch{dx}{y}=\bruch{du}{x^2-y^2}
[/mm]
[mm] u=\integral{\bruch{x^2}{y}-y dx}
[/mm]
[mm] u=\bruch{x^3}{3y}-xy+C_{3}
[/mm]
Womit das zweite Integral als [mm] \phi(x,y,\*)=u-\bruch{x^3}{3y}-xy [/mm] erhalte.
Und das erste Integral als [mm] \phi(x,y,\*)=x^2+y^2 [/mm] (Rechnung hierfür hab ich aus Platzgründen ausgelassen)
*: was gehört hier hin? Da ich nirgends ein [mm] u_{z} [/mm] stehen hab verwirrt mich das ein bisschen.
Also [mm] u(x,y,\*)=F(x^2+y^2,u-\bruch{x^3}{3y}-xy) [/mm] mit einer beliebigen stetig differenzierbaren Funktion F.
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Hallo jeada,
> Ok, danke wiedermal MathePower. Du hast mir unglaublich
> viel geholfen! :)
>
> Nach langem umher rechnen und Kopf zerbrechen bin ich nun
> zum folgendem Problem gelangt, ich wäre sehr dankbar wenn
> du ein letztes mal drüber schauen kannst.
>
> Zunächst hab ich die Angabe auf die Form
> [mm]yu_{x}-xu_{y}+x^2-y^2=0[/mm] gebracht und [mm]\dot{x}=y[/mm] , [mm]\dot{y}=-x[/mm]
> und [mm]\dot{u}=x^2-y^2[/mm] angeschrieben. Danach deine Anweisungen
> befolgt und die DGL 2. Ordnung gelöst um x(s) und y(s) zu
> finden.
>
> Anschließend habe ich [mm]C_{1}[/mm] und [mm]C_{2}[/mm] bestimmt:
> [mm]C_{1}=xcos(s)-ysin(s)[/mm]
> [mm]C_{2}=ycos(s)+xsin(s)[/mm]
>
> Diese eingesetzt in
> [mm]x^2-y^2=(C_{1}cos(s)+C_{2}sin(s))^2-(C_{2}cos(s)-C_{1}sin(s))^2[/mm]
> ergeben wie erhofft [mm]x^2-y^2.[/mm]
>
> Das ganze in [mm]\bruch{du}{ds}[/mm] eingesetzt und gelöst ergibt
> [mm]u=s(x^2-y^2)+C_{3}[/mm] was mich aber nicht weiter bringt da ich
> ja s nicht kenne.
> Wenn ich s berechnen will, stoß ich wieder auf zwei
> Konstanten
> Was mach ich falsch und wieso kann man [mm]y^2-x^2[/mm] als [mm]\dot{u}[/mm]
> ansehen?
>
Ausgehend von der Funktion
[mm]u\left(s\right)=u\left( \ x\left(s\right), \ y\left(s\right) \ \right)[/mm]
erhält man durch Differentiation nach s:
[mm]\bruch{du}{ds}=\bruch{\partial u}{\partial x}*\bruch{dx}{ds}+\bruch{\partial u}{\partial y}*\bruch{dy}{ds}[/mm]
Dieses Vorgehen nennt man aich Charakteristikenmethode.
Anhand von Beispielen wird die Charakteristikenmethode ![[]](/images/popup.gif) hier erläutert.
>
>
>
> Worauf ich wieder zur Ausgangsgleichung gegangen bin und
> folgendes umgeformt habe:
>
> [mm]\bruch{dx}{y}=\bruch{du}{x^2-y^2}[/mm]
> [mm]u=\integral{\bruch{x^2}{y}-y dx}[/mm]
>
> [mm]u=\bruch{x^3}{3y}-xy+C_{3}[/mm]
>
> Womit das zweite Integral als
> [mm]\phi(x,y,\*)=u-\bruch{x^3}{3y}-xy[/mm] erhalte.
> Und das erste Integral als [mm]\phi(x,y,\*)=x^2+y^2[/mm] (Rechnung
> hierfür hab ich aus Platzgründen ausgelassen)
> *: was gehört hier hin? Da ich nirgends ein [mm]u_{z}[/mm] stehen
> hab verwirrt mich das ein bisschen.
Die Rechnung wird einfacher, wenn Du [mm]x\left(s\right), \ y\left(s\right)[/mm]
[mm]x(s)=C_{1}cos(s)+C_{2}sin(s)=A*\sin\left(s+\phi)[/mm]
[mm]y(s)=C_{2}cos(s)-C_{1}sin(s)} =A*\cos\left(s+\phi)[/mm]
so schreibst.
Durch Quadrieren dieser beiden Gleichungen erhältst Du das erste Integral.
> Also [mm]u(x,y,\*)=F(x^2+y^2,u-\bruch{x^3}{3y}-xy)[/mm] mit einer
> beliebigen stetig differenzierbaren Funktion F.
Gruss
MathePower
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