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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die allg. Lsg. der DGL [mm] y''+6y'+13y=-5-39x+e^{-x} [/mm] |
Hallo,
hier mein Vorgehensweise:
1) Homogene DGL bestimmen
charak. Polynom bilden: [mm] \lambda^2+6\lambda+13=0 [/mm] --> [mm] \lambda_1=-3+2i [/mm] und [mm] \lambda_2=-3-2i
[/mm]
Ansatz: [mm] y_h=C_1*e^{-3x}*cos(2x)+C_2*e^{-3x}*sin(2x)
[/mm]
2) Partikülare DGL bestimmen:
Aufsplitten in zwei Parts:
[mm] r(x)=r_1(x)+r_2(x) [/mm] mit [mm] r_1=-5-39x [/mm] und [mm] r_2=e^{-x}
[/mm]
[mm] r_1 [/mm] --> [mm] y_{p1} [/mm] --> [mm] y_{p1}=A_0+A_1x [/mm] --> [mm] y'_{p1}=A_1 [/mm] --> y''=0
Einsetzen in inhomogene DGL: [mm] 6A_1+13(A_0+A_1x)=-5-39x [/mm]
Koeffizientenvgl liefert: [mm] A_1=-3 [/mm] und [mm] A_0=1 [/mm] -----> [mm] y_{p1}=1-3x
[/mm]
[mm] r_2 [/mm] --> [mm] y_{p2} [/mm] --> [mm] y_{p2}=A*x*e^{-x} [/mm] --> [mm] y'=A*e^{-x}(1-x) [/mm] --> [mm] y''=A*e^{-x}(-2-x) [/mm]
Einsetzen in inhomogene DGL: [mm] A*e^{-x}(-2-x)+6*[A*e^{-x}(1-x)]+13[x*A *e^{-x}]=e^{-x}
[/mm]
Koeffizientenvgl liefert: [mm] A=\bruch{1}{4} [/mm] -----> [mm] y_{p2}=\bruch{1}{4}*x*e^{-x}
[/mm]
[mm] y_p=y_{p1}+y_{p2}=1-3x+\bruch{1}{4}*x*e^{-x}
[/mm]
Stimmt das?
Vielen Dank im Vorraus.
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Hallo,
> Bestimmen Sie die allg. Lsg. der DGL
> [mm]y''+6y'+13y=-5-39x+e^{-x}[/mm]
> Hallo,
>
> hier mein Vorgehensweise:
>
> 1) Homogene DGL bestimmen
>
> charak. Polynom bilden: [mm]\lambda^2+6\lambda+13=0[/mm] -->
> [mm]\lambda_1=-3+2i[/mm] und [mm]\lambda_2=-3-2i[/mm]
>
> Ansatz: [mm]y_h=C_1*e^{-3x}*cos(2x)+C_2*e^{-3x}*sin(2x)[/mm]
Das stimmt.
> 2) Partikülare DGL bestimmen:
>
> Aufsplitten in zwei Parts:
> [mm]r(x)=r_1(x)+r_2(x)[/mm] mit [mm]r_1=-5-39x[/mm] und [mm]r_2=e^{-x}[/mm]
>
>
> [mm]r_1[/mm] --> [mm]y_{p1}[/mm] --> [mm]y_{p1}=A_0+A_1x[/mm] --> [mm]y'_{p1}=A_1[/mm] -->
> y''=0
>
> Einsetzen in inhomogene DGL: [mm]6A_1+13(A_0+A_1x)=-5-39x[/mm]
>
> Koeffizientenvgl liefert: [mm]A_1=-3[/mm] und [mm]A_0=1[/mm] ----->
> [mm]y_{p1}=1-3x[/mm]
Das stimmt ebenfalls.
> [mm]r_2[/mm] --> [mm]y_{p2}[/mm] --> [mm]y_{p2}=A*x*e^{-x}[/mm] --> [mm]y'=A*e^{-x}(1-x)[/mm]
> --> [mm]y''=A*e^{-x}(-2-x)[/mm]
Hier hast Du einen Fehler beim Ansatz gemacht. [mm] e^{-x} [/mm] ist nicht in der Lösung der homogenen DGL enthalten, wieso solltest du also den Ansatz [mm] Axe^{-x} [/mm] wählen ? Versuche es wenn schon mit [mm] (Ax+B)e^{-x} [/mm] oder aber nur [mm] Ae^{-x}
[/mm]
> Einsetzen in inhomogene DGL:
> [mm]A*e^{-x}(-2-x)+6*[A*e^{-x}(1-x)]+13[x*A *e^{-x}]=e^{-x}[/mm]
>
> Koeffizientenvgl liefert: [mm]A=\bruch{1}{4}[/mm] ----->
> [mm]y_{p2}=\bruch{1}{4}*x*e^{-x}[/mm]
>
> [mm]y_p=y_{p1}+y_{p2}=1-3x+\bruch{1}{4}*x*e^{-x}[/mm]
>
>
> Stimmt das?
Nicht ganz. Aber den Fehler wirst Du schnell beheben.
> Vielen Dank im Vorraus.
LG
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