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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Allgemeine Lsg. bestimmen
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Allgemeine Lsg. bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:56 Fr 31.08.2012
Autor: monstre123

Aufgabe
Bestimmen Sie die allg. Lsg. der DGL [mm] y''+6y'+13y=-5-39x+e^{-x} [/mm]

Hallo,

hier mein Vorgehensweise:

1) Homogene DGL bestimmen

charak. Polynom bilden: [mm] \lambda^2+6\lambda+13=0 [/mm]  --> [mm] \lambda_1=-3+2i [/mm] und [mm] \lambda_2=-3-2i [/mm]

Ansatz: [mm] y_h=C_1*e^{-3x}*cos(2x)+C_2*e^{-3x}*sin(2x) [/mm]

2) Partikülare DGL bestimmen:

Aufsplitten in zwei Parts:
[mm] r(x)=r_1(x)+r_2(x) [/mm]  mit [mm] r_1=-5-39x [/mm] und [mm] r_2=e^{-x} [/mm]


[mm] r_1 [/mm] --> [mm] y_{p1} [/mm]  --> [mm] y_{p1}=A_0+A_1x [/mm]  --> [mm] y'_{p1}=A_1 [/mm]  --> y''=0

Einsetzen in inhomogene DGL: [mm] 6A_1+13(A_0+A_1x)=-5-39x [/mm]

Koeffizientenvgl liefert: [mm] A_1=-3 [/mm] und [mm] A_0=1 [/mm]  -----> [mm] y_{p1}=1-3x [/mm]


[mm] r_2 [/mm] --> [mm] y_{p2} [/mm]  --> [mm] y_{p2}=A*x*e^{-x} [/mm]  --> [mm] y'=A*e^{-x}(1-x) [/mm]  --> [mm] y''=A*e^{-x}(-2-x) [/mm]

Einsetzen in inhomogene DGL: [mm] A*e^{-x}(-2-x)+6*[A*e^{-x}(1-x)]+13[x*A *e^{-x}]=e^{-x} [/mm]

Koeffizientenvgl liefert: [mm] A=\bruch{1}{4} [/mm]  -----> [mm] y_{p2}=\bruch{1}{4}*x*e^{-x} [/mm]

[mm] y_p=y_{p1}+y_{p2}=1-3x+\bruch{1}{4}*x*e^{-x} [/mm]


Stimmt das?


Vielen Dank im Vorraus.

        
Bezug
Allgemeine Lsg. bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:04 Fr 31.08.2012
Autor: MontBlanc

Hallo,


> Bestimmen Sie die allg. Lsg. der DGL
> [mm]y''+6y'+13y=-5-39x+e^{-x}[/mm]
>  Hallo,
>
> hier mein Vorgehensweise:
>  
> 1) Homogene DGL bestimmen
>  
> charak. Polynom bilden: [mm]\lambda^2+6\lambda+13=0[/mm]  -->
> [mm]\lambda_1=-3+2i[/mm] und [mm]\lambda_2=-3-2i[/mm]
>  
> Ansatz: [mm]y_h=C_1*e^{-3x}*cos(2x)+C_2*e^{-3x}*sin(2x)[/mm]

Das stimmt.

> 2) Partikülare DGL bestimmen:
>  
> Aufsplitten in zwei Parts:
>  [mm]r(x)=r_1(x)+r_2(x)[/mm]  mit [mm]r_1=-5-39x[/mm] und [mm]r_2=e^{-x}[/mm]
>  
>
> [mm]r_1[/mm] --> [mm]y_{p1}[/mm]  --> [mm]y_{p1}=A_0+A_1x[/mm]  --> [mm]y'_{p1}=A_1[/mm]  -->
> y''=0
>  
> Einsetzen in inhomogene DGL: [mm]6A_1+13(A_0+A_1x)=-5-39x[/mm]
>
> Koeffizientenvgl liefert: [mm]A_1=-3[/mm] und [mm]A_0=1[/mm]  ----->
> [mm]y_{p1}=1-3x[/mm]

Das stimmt ebenfalls.


> [mm]r_2[/mm] --> [mm]y_{p2}[/mm]  --> [mm]y_{p2}=A*x*e^{-x}[/mm]  --> [mm]y'=A*e^{-x}(1-x)[/mm]
>  --> [mm]y''=A*e^{-x}(-2-x)[/mm]

Hier hast Du einen Fehler beim Ansatz gemacht. [mm] e^{-x} [/mm] ist nicht in der Lösung der homogenen DGL enthalten, wieso solltest du also den Ansatz [mm] Axe^{-x} [/mm] wählen ? Versuche es wenn schon mit [mm] (Ax+B)e^{-x} [/mm] oder aber nur [mm] Ae^{-x} [/mm]

> Einsetzen in inhomogene DGL:
> [mm]A*e^{-x}(-2-x)+6*[A*e^{-x}(1-x)]+13[x*A *e^{-x}]=e^{-x}[/mm]
>  
> Koeffizientenvgl liefert: [mm]A=\bruch{1}{4}[/mm]  ----->
> [mm]y_{p2}=\bruch{1}{4}*x*e^{-x}[/mm]
>  
> [mm]y_p=y_{p1}+y_{p2}=1-3x+\bruch{1}{4}*x*e^{-x}[/mm]
>  
>
> Stimmt das?

Nicht ganz. Aber den Fehler wirst Du schnell beheben.

> Vielen Dank im Vorraus.

LG

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