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Allgemeine harmonische Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:15 Mo 27.02.2012
Autor: theresetom

Aufgabe
Ich suche einen Beweis zu :
Wenn s [mm] \in \IN [/mm] mit s [mm] \ge [/mm] 2, dann [mm] \sum_{n=1}^\infty 1/(n^s) [/mm] ist konvergent

Ich Internet habe ich dazu Integralbeweise gefunden, aber das haben wir noch nicht gemacht, also suche ich einen anderen Beweis.
Wäre dankbar für jede Verlinkung/Hinweise.

        
Bezug
Allgemeine harmonische Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:26 Mo 27.02.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> Ich suche einen Beweis zu :
>  Wenn s [mm]\in \IN[/mm] mit s [mm]\ge[/mm] 2, dann [mm]\sum_{n=1}^\infty 1/(n^s)[/mm]
> ist konvergent
>  Ich Internet habe ich dazu Integralbeweise gefunden, aber
> das haben wir noch nicht gemacht, also suche ich einen
> anderen Beweis.
> Wäre dankbar für jede Verlinkung/Hinweise.


Hallo theresetom,

falls es gelingt, den Beweis für s=2 zu führen, ist es
nicht schwer, auf ihm basierend auch den Fall s>2 zu
erledigen.

Für den Fall s=2 sollte dieser Tipp hilfreich sein:

Betrachte zunächst anstelle von [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}[/mm]
die Summen         [mm]\sum_{n=1}^k \frac{1}{n*(n+1)}[/mm]

sowie die Reihe    [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n*(n+1)}[/mm]

LG   Al-Chw.


Bezug
        
Bezug
Allgemeine harmonische Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:34 Mo 27.02.2012
Autor: huzein

Eine andere Möglichkeit (direkter Beweis) wäre mit dem Cauchyschen Verdichtungskriterium.

Bezug
        
Bezug
Allgemeine harmonische Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:27 Mo 27.02.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Ich suche einen Beweis zu :
>  Wenn s [mm]\in \IN[/mm] mit s [mm]\ge[/mm] 2, dann [mm]\sum_{n=1}^\infty 1/(n^s)[/mm]
> ist konvergent

zwei Hinweise zu Als Tipp:
1. Beachte:
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \le 1+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}\,.$$ [/mm]

2. Schreibe [mm] $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{a}{n}+\frac{b}{n+1}\,,$ [/mm] wobei Du [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$ [/mm] dann bestimmen musst. (Stichwort: Partialbruchzerlegung.)
Danach siehst Du: Ziehhhhhhhh(aarmonika)...

Gruß,
Marcel

Bezug
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