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| Aufgabe | Berechnen der allgemeinen und singulären ( falls vorhanden) Lösung:
2y' - [mm] y^2 [/mm] + y = 0 |
Hierfür habe ich keine Ahnung, denn in allen DGL's die ich gerechnet habe war auch immer ein x.
Hier bräuchte ich einen Ansatz
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Di 12.05.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Berechnen der allgemeinen und singulären ( falls
> vorhanden) Lösung:
>
> 2y' - [mm]y^2[/mm] + y = 0
> Hierfür habe ich keine Ahnung, denn in allen DGL's die
> ich gerechnet habe war auch immer ein x.
wenn es dir besser gefällt, kannst Du die DGL auch so schreiben:
[mm] $2x'-x^2+x=0$ [/mm] oder so:
[mm] $2\dot x-x^2+x=0$
[/mm]
Jetzt hast Du x drin.
> Hier bräuchte ich einen Ansatz
welche Verfahren zum Lösen von DGLen kennst Du denn?
>
> Gruß
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Di 12.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen der allgemeinen und singulären ( falls
> vorhanden) Lösung:
>
> 2y' - [mm]y^2[/mm] + y = 0
Das ist eine Bernoulli DGL
FRED
> Hierfür habe ich keine Ahnung, denn in allen DGL's die
> ich gerechnet habe war auch immer ein x.
> Hier bräuchte ich einen Ansatz
>
> Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Do 14.05.2015 | | Autor: | C11H15NO2 |
Okay nach Bernoullie würde ichs so rechnen:
sub: u = [mm] \bruch{1}{y} y=\bruch{1}{u}
[/mm]
y' = [mm] \bruch{-u'}{u^2}
[/mm]
[mm] -2\bruch{u'}{u^2} -\bruch{1}{u^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{u} [/mm] = 0
umformen liefert:
u' = [mm] \bruch{u}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
dx = ( [mm] \bruch{2}{u} [/mm] - 2 ) du
integral lösen:
2 ln |u| - 2 u = x + ln |c| [mm] \pm [/mm] c -> K
...umformen...
u = [mm] \wurzel{e^{x+2}K}
[/mm]
u' = ...
bringt mich nicht weiter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:28 Sa 16.05.2015 | | Autor: | C11H15NO2 |
okay hier komme ich jetzt auf das gleiche.
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> Berechnen der allgemeinen und singulären ( falls
> vorhanden) Lösung:
>
> 2y' - [mm]y^2[/mm] + y = 0
> Hierfür habe ich keine Ahnung, denn in allen DGL's die
> ich gerechnet habe war auch immer ein x.
> Hier bräuchte ich einen Ansatz
>
> Gruß
Schreibe [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] für y' , also [mm]2\bruch{dy}{dx} - y^2 + y = 0 [/mm], also [mm]2\bruch{dy}{dx} = y^2 - y [/mm], also [mm]2dy =(y^2 - y)dx [/mm], also [mm]2\bruch{dy}{y^2 - y} = dx [/mm].
Jetzt integrierst du beide Seiten (links: Formelsammlung oder per Partialbruchzerlegung), das Ergebnis stellst du wieder nach y um. Wie findest du die Singularitäten?
(Allgemeine Lösung zur Kontrolle:y = [mm] \bruch{1}{1-ae^{x/2}}).
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:57 Do 14.05.2015 | | Autor: | C11H15NO2 |
Hier komme ich auf
y = [mm] \bruch{1}{1 - e^{x/2}}
[/mm]
... Die Konstante hat sich ja weg gekürzt.
Sonst hab ich immer durch integration von K'(x) K(x) ermittelt und dann eingesetzt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Do 14.05.2015 | | Autor: | notinX |
> Hier komme ich auf
> y = [mm]\bruch{1}{1 - e^{x/2}}[/mm]
Das ist eine spezielle Lösung, aber nicht die allgemeine.
> ... Die Konstante hat sich ja
> weg gekürzt.
Nein, hat sie nicht.
> Sonst hab ich immer durch integration von K'(x) K(x)
> ermittelt und dann eingesetzt
Was soll $K'(x)$ sein?
Gruß
notinX
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> Hier komme ich auf
> y = [mm]\bruch{1}{1 - e^{x/2}}[/mm]
> ... Die Konstante hat sich ja
> weg gekürzt.
> Sonst hab ich immer durch integration von K'(x) K(x)
> ermittelt und dann eingesetzt
Besser: y = [mm]\bruch{1}{1 - A*e^{x/2}}[/mm].
Und jetzt noch die Singularitäten...
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ja ok das habe ich nun auch raus.
aber was mit singularitäten gemeint ist weißt ich nicht.
das ist doch eine homogene gleichung, da die eine seite = 0 ist.
und somit gibt es nur eine homogene lösung (=singuläre lösung).
oder irre ich mich da?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Sa 16.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist keine hom. lineare Gl. was ist mit der Lösung y=0 für jeden AW [mm] y(x_0)=0? [/mm] (du hast ja ^/y gebildet, das geht nur für [mm] y\neq0
[/mm]
Gruss ledum
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