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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Sei \mathscr{R} ein Mengenring, \mu: \mathscr{R} \rightarrow [0,\infty] ein Inhalt und (A_{i})_{i\in\IN} eine Folge von Mengen A_{i}\in \mathscr{R} mit \mu(A_{i}) < \infty. Zeigen Sie, dass $$ \mu\left(\bigcup_{i=1}^{k} A_{i}\right) = \summe_{j=1}^{k}(-1)^{j-1} \summe_{1\le i_{1}<...<i_{j}\le k}} \mu(A_{i_{1}}\cap...\cap A_{i_{j}}) $$ für jedes k \in \IN |
Hallo Leute,
wie ihr seht muss ich den Additionssatz beweisen. Induktion wäre, nehme ich mal an, das beste Hilfsmittel dazu.
Den Induktionsanfang mit k=1 hab ich soweit. Schwierigkeiten bereitet mir der Induktionsschluss. Könntet ihr mir ein Tipp geben wie ich das am besten löse??
Danke im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Di 30.10.2007 | | Autor: | Blech |
[mm] \mu\left(\bigcup_{i=1}^{k+1} A_{i}\right) [/mm] = [mm] \mu\left(\bigcup_{i=1}^{k} A_{i}\cup A_{k+1}\right) [/mm] = [mm] \mu\left(\bigcup_{i=1}^{k} A_{i}\right) [/mm] + [mm] \mu(A_{k+1}) [/mm] - [mm] \mu\left(\bigcup_{i=1}^{k} (A_{i}\cap A_{k+1})\right)
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:58 Di 30.10.2007 | | Autor: | r4nt4npl4n |
Hey
ja soweit war ich auch. Jetzt kann man ja die Voraussetzung anwenden aber irgendwie hab ich da immernoch 2 Summanden. Kann man die irgendwie in die Doppelsumme "einschachteln" ?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Hey
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> ja soweit war ich auch. Jetzt kann man ja die Voraussetzung
> anwenden aber irgendwie hab ich da immernoch 2 Summanden.
Du kannst die Voraussetzung auf *2* Summanden anwenden.
Ich weiß nicht, ob Du das getan hast, aber es ist der eigentliche "Trick" der Aufgabe. Der Rest ist Indexgeschiebe.
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Ich kriegs noch nicht hin
Induktionsschluss k -> k+1
$$ [mm] \mu\left(\bigcup_{i=1}^{k+1} A_{i}\right) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{k+1}(-1)^{j-1} \summe_{1\le i_{1}<...
[mm] $$\mu\left(\bigcup_{i=1}^{k+1} A_{i}\right)=\mu\left(\bigcup_{i=1}^{k} A_{i}\right) [/mm] + [mm] \mu(A_{k+1}) [/mm] - [mm] \mu \left(\bigcup_{i=1}^{k}(A_{i} \cap A_{k+1})\right)$$
[/mm]
[mm] \mu\left(\bigcup_{i=1}^{k} A_{i}\right) [/mm] + [mm] \mu(A_{k+1}) [/mm] - [mm] \mu \left(\bigcup_{i=1}^{k}(A_{i} \cap A_{k+1})\right) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{k+1}(-1)^{j-1} \summe_{1\le i_{1}<...
Jetzt Induktionsvoraussetzung anwenden:
[mm] \summe_{j=1}^{k}(-1)^{j-1} \summe_{1\le i_{1}<...
Ist es bis jetzt so in Ordnung? Wie kann ich jetzt weiter machen?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Blech |
> [mm]\mu\left(\bigcup_{i=1}^{k} A_{i}\right)[/mm] + [mm]\mu(A_{k+1})[/mm] -
> [mm]\mu \left(\bigcup_{i=1}^{k}(A_{i} \cap A_{k+1})\right)[/mm] =
> [mm]\summe_{j=1}^{k+1}(-1)^{j-1} \summe_{1\le i_{1}<...
Schreib nicht immer das Ergebnis, das Du willst einfach so mit Gleichheitszeichen auf die andere Seite, das müssen wir ja erst noch zeigen =)
> Jetzt Induktionsvoraussetzung anwenden:
>
>
Wieviele Elemente vereinigst Du hier?
[mm]\mu \left(\bigcup_{i=1}^{k}(A_{i} \cap A_{k+1})\right)[/mm]
Und was genau war Deine Induktionsvoraussetzung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 Mi 31.10.2007 | | Autor: | r4nt4npl4n |
Meine Voraussetzung war
$$ [mm] \mu\left(\bigcup_{i=1}^{k} A_{i}\right) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{k}(-1)^{j-1} \summe_{1\le i_{1}<...
Zu
[mm] \mu \left(\bigcup_{i=1}^{k}(A_{i} \cap A_{k+1})\right)
[/mm]
naja ich würd sagen dass es k Vereinigungen sind...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Meine Voraussetzung war
>
> [mm]\mu\left(\bigcup_{i=1}^{k} A_{i}\right) = \summe_{j=1}^{k}(-1)^{j-1} \summe_{1\le i_{1}<...
>
> Zu
>
> [mm]\mu \left(\bigcup_{i=1}^{k}(A_{i} \cap A_{k+1})\right)[/mm]
>
> naja ich würd sagen dass es k Vereinigungen sind...
Damit erfüllt es doch die Induktionsvoraussetzung. Wie die [mm] $A_i$ [/mm] speziell ausschauen, ist ja unerheblich.
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Ich muss wissen, wie die Summe aussieht, die ich als IV einsetze für [mm] A_{i} \cap A_{k+1}
[/mm]
Ich weiss ja bereits, wie sie für [mm] A_{i} [/mm] aussieht...kannst du mir nun da weiterhelfen oder nicht? sorry aber ich wollt das gerne bis morgen fertig haben ;)
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Ich muss wissen, wie die Summe aussieht, die ich als IV
> einsetze für [mm]A_{i} \cap A_{k+1}[/mm]
>
> Ich weiss ja bereits, wie sie für [mm]A_{i}[/mm] aussieht...kannst
> du mir nun da weiterhelfen oder nicht? sorry aber ich wollt
> das gerne bis morgen fertig haben ;)
Du weißt ja wie sie aussieht.
Vielleicht hilft's Dir, wenn Du sie umbenennst:
[mm] $B_i:=A_i\cap A_{k+1}$
[/mm]
Jetzt ersetz überall in der IV das [mm] "$A_i$" [/mm] durch [mm] "$B_i$" [/mm] und die Bedingungen an die Induktionsvoraussetzung stimmen doch noch immer.
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Hey
also ich habs versucht ein bisschen weiterzuführen.
[mm] \sum_{j=1}^{k} (-1)^{j-1} \sum_{1
Das ist die Gleichung nachdem ich zweimal die IV angewendet habe.
Ist das soweit richtig?
Wie kann ich daraus eine Doppelsumme machen die bis k+1 läuft, so wie ich das halt zeigen muss?'
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Sa 03.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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