Alternierende Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beh. [mm] (-1)^n *\bruch{1}{n} [/mm] ist konvergent. |
Ist diese Aussage korrekt? Ich habe eine Folge [mm] a_n [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{n}{(n+1)*(n+2)} [/mm] kann ich diese abschätzen zu [mm] \le (-1)^n *\bruch{1}{n} [/mm] (konvergente Majorante)?
DANKE.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:06 Do 10.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich vermute es geht um Reihen, also um
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot{}\bruch{1}{n} [/mm] $
Liege ich da richtig ?
Wenn es um Folgen geht so ist obige Beh. schnell gezeigt:
[mm] $|(-1)^n \cdot{}\bruch{1}{n} [/mm] |= [mm] \bruch{1}{n}$
[/mm]
FRED
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> Beh. [mm](-1)^n *\bruch{1}{n}[/mm] ist konvergent.
> Ist diese Aussage korrekt? Ich habe eine Folge [mm]a_n[/mm] =
> [mm](-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{n}{(n+1)*(n+2)}[/mm] kann ich diese abschätzen
> zu [mm]\le (-1)^n *\bruch{1}{n}[/mm] (konvergente Majorante)?
Es ist hier die Reihe gegeben mit der Folge [mm] a_n.
[/mm]
Ich bekomme heraus, dass diese Reihe nicht absolut konvergent ist.
Jetzt zu meiner 2. Frage:
Wenn ich gezeigt habe, dass die Reihe nicht absolut konvergent ist, kann ich folgt weitermachen: [mm] a_n=
[/mm]
[mm](-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{n}{(n+1)*(n+2)}[/mm] kann ich diese abschätzen
> zu [mm]\le (-1)^n *\bruch{1}{n}[/mm] (konvergente Majorante)?
Und daraus folgern, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] konvergent ist?
> DANKE.
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Hallo Alexandra,
> > Beh. [mm](-1)^n *\bruch{1}{n}[/mm] ist konvergent.
> > Ist diese Aussage korrekt? Ich habe eine Folge [mm]a_n[/mm] =
> > [mm](-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{n}{(n+1)*(n+2)}[/mm] kann ich diese abschätzen
> > zu [mm]\le (-1)^n *\bruch{1}{n}[/mm] (konvergente Majorante)?
> Es ist hier die Reihe gegeben mit der Folge [mm]a_n.[/mm]
Also [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{1}{n}$
[/mm]
>
> Ich bekomme heraus, dass diese Reihe nicht absolut
> konvergent ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Klar, das sonst wäre die harmonische Reihe konvergent
> Jetzt zu meiner 2. Frage:
> Wenn ich gezeigt habe, dass die Reihe nicht absolut
> konvergent ist, kann ich folgt weitermachen: [mm]a_n=[/mm]
> [mm](-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{n}{(n+1)*(n+2)}[/mm] kann ich diese abschätzen
> > zu [mm]\le (-1)^n *\bruch{1}{n}[/mm] (konvergente Majorante)?
> Und daraus folgern, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] konvergent
> ist?
Ich weiß gar nicht, was du hier vor hast ...
Für alternierende Reihen gibt's doch das wunderbare Kriterium von Leibniz, mit dem du hier bei der gegebenen Reihe voll ins Schwarze triffst ...
Was ist gem. diesem Kriterium zu zeigen?
Und mache das mal, das ist echt einfach ...
>
> > DANKE.
>
LG
schachuzipus
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> Hallo Alexandra,
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> > > Beh. [mm](-1)^n *\bruch{1}{n}[/mm] ist konvergent.
> > > Ist diese Aussage korrekt? Ich habe eine Folge [mm]a_n[/mm] =
> > > [mm](-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{n}{(n+1)*(n+2)}[/mm] kann ich diese abschätzen
> > > zu [mm]\le (-1)^n *\bruch{1}{n}[/mm] (konvergente Majorante)?
> > Es ist hier die Reihe gegeben mit der Folge [mm]a_n.[/mm]
>
> Also [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{1}{n}[/mm]
>
> >
> > Ich bekomme heraus, dass diese Reihe nicht absolut
> > konvergent ist.
>
> Klar, das sonst wäre die harmonische Reihe konvergent
>
> > Jetzt zu meiner 2. Frage:
> > Wenn ich gezeigt habe, dass die Reihe nicht absolut
> > konvergent ist, kann ich folgt weitermachen: [mm]a_n=[/mm]
> > [mm](-1)^n[/mm] * [mm]\bruch{n}{(n+1)*(n+2)}[/mm] kann ich diese
> abschätzen
> > > zu [mm]\le (-1)^n *\bruch{1}{n}[/mm] (konvergente Majorante)?
> > Und daraus folgern, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm]
> konvergent
> > ist?
>
> Ich weiß gar nicht, was du hier vor hast ...
Ich will zeigen, dass die Reihe konvergent ist, aber nicht absolut...
>
> Für alternierende Reihen gibt's doch das wunderbare
> Kriterium von Leibniz, mit dem du hier bei der gegebenen
> Reihe voll ins Schwarze triffst ...
>
> Was ist gem. diesem Kriterium zu zeigen?
>
> Und mache das mal, das ist echt einfach ...
>
>
> >
> > > DANKE.
> >
>
> LG
>
> schachuzipus
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Hallo Alexandra,
(OT: gefällt mir viel besser als Pfefferminza...)
ich schließe mich hier gern schachuzipus an. Es gibt drei Möglichkeiten, die Konvergenz der Reihe leicht zu zeigen:
1) Leibniz-Kriterium
2) Leibniz-Kriterium
3) Leibniz-Kriterium
Wenn Dich das partout nicht überzeugt, könntest Du die Reihe wie folgt umformen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n\bruch{1}{n}=\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{2k}-\bruch{1}{2k-1}\right)=\blue{-}\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2k(2k-1)}
[/mm]
...und das kannst Du dann ja mit anderen Konvergenzkriterien untersuchen.
lg
reverend
PS: Musste gerade ganz grußlos abschicken. Nacheditiert.
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Hallo Alexandra,
es geht auch ganz ohne Konvergenzkriterien:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n\bruch{1}{n}=\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{2k}-\bruch{1}{2k-1}\right)=-\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{2k(2k-1)}\blue{<0}
[/mm]
und
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n\bruch{1}{n}=-1+\summe_{j=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{2j}-\bruch{1}{2j+1}\right)=-1+\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{1}{2j(2j+1)}\blue{>-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \blue{-1}<\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n\bruch{1}{n}\blue{<0}
[/mm]
Damit ist nicht nur die Existenz eines Grenzwerts gezeigt, sondern zugleich eine erste Abschätzung nach oben und unten gegeben.
lg
reverend
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Kann ich sagen, dass Die Reihe [mm] a_n [/mm] (siehe Aufgabe) absolut konvergent ist genau dann, wenn die Reihe [mm] |a_n| [/mm] konvergiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Do 10.12.2009 | | Autor: | oli_k |
Ja, das geht sogar in beide Richtungen. Die Aussagen sind äquivalent!
Edit: Mit Betrachtung der Aufgabenstellung macht die Aussage hier wirklich keinen Sinn.
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Hallo nochmal,
so wie es da steht, ist es sinnlos:
Die Definition von "absolut konvergent" ist:
"Die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n$ [/mm] ist absolut konvergent, wenn die Reihe der Beträge [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}|a_n|$ [/mm] konvergent ist"
Das ist hier nicht der Fall.
Ich verstehe nicht, wieso du trotz des zweifachen Hinweises, den du bekommen hast, dich konsequent weigerst, das Leibnizkriterium für die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\cdot{}\frac{1}{n}$ [/mm] mal anzuwenden.
Man kann dir offenbar trotz gut gemeinter Tipps wegen Beratungsresistenz nicht helfen.
Dass die gegeben Reihe nicht absolut konvergent ist, ist ja hinreichend geklärt
LG
schachuzipus
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