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| Aufgabe | | Sei [mm] A_n=ker(sgn) \Rightarrow A_n=(S_n:S_n) [/mm] |
Guten Tag alle zusammen,
ich habe irgendwie ein Problem zu verstehen, wie ich [mm] (S_n:S_n) [/mm] bestimme zum Beispiel für den Fall n=3, dann ist [mm] S_3=\{e,(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3),(1,3,2)\} [/mm] und [mm] A_3=ker(sgn)=\{e,(1,2,3),(1,3,2)\}
[/mm]
Aber für mich ist [mm] (S_n:S_n)=\left<\sigma\circ\tau\circ\sigma^{-1}\circ\tau^{-1}=:g|\sigma,\tau\in S_n\right>=\{e\}\cup\{\sigma\in S_n | \sigma=g_1\circ ... \circ g_s \forall g_i\in S \vee g_i^{-1}\in S\}, [/mm] wobei [mm] S=\{\sigma\circ\tau\circ\sigma^{-1}\circ\tau^{-1}|\sigma,\tau\in S_n\}
[/mm]
Wenn ich dann zum Beispiel [mm] \sigma=(1,2) [/mm] und [mm] \tau=(1,3) [/mm] nehme, ist [mm] \sigma\circ\tau\circ\sigma^{-1}\circ\tau^{-1}=(1,2) \not\in A_3 [/mm] ...
Was genau mache ich falsch beim Berechnen?
Beste Grüße,
Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Mo 01.10.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]A_n=ker(sgn) \Rightarrow A_n=(S_n:S_n)[/mm]
Die Inklusion [mm] $\supseteq$ [/mm] ist uebrigens sehr einfach, wenn du benutzt, dass $sgn$ ein Homomorphismus ist.
Fuer die andere Inklusion solltest du etwas mehr ueber die [mm] $A_n$ [/mm] wissen, etwa von welchen Elementen sie erzeugt wird.
> ich habe irgendwie ein Problem zu verstehen, wie ich
> [mm](S_n:S_n)[/mm] bestimme zum Beispiel für den Fall n=3, dann ist
> [mm]S_3=\{e,(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3),(1,3,2)\}[/mm] und
> [mm]A_3=ker(sgn)=\{e,(1,2,3),(1,3,2)\}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber für mich ist
> [mm](S_n:S_n)=\left<\sigma\circ\tau\circ\sigma^{-1}\circ\tau^{-1}=:g|\sigma,\tau\in S_n\right>=\{e\}\cup\{\sigma\in S_n | \sigma=g_1\circ ... \circ g_s \forall g_i\in S \vee g_i^{-1}\in S\},[/mm]
> wobei
> [mm]S=\{\sigma\circ\tau\circ\sigma^{-1}\circ\tau^{-1}|\sigma,\tau\in S_n\}[/mm]
> Wenn ich dann zum Beispiel [mm]\sigma=(1,2)[/mm] und [mm]\tau=(1,3)[/mm]
> nehme, ist
> [mm]\sigma\circ\tau\circ\sigma^{-1}\circ\tau^{-1}=(1,2) \not\in A_3[/mm]
> ...
Da hast du dich ganz bestimmt verrechnet. Das Produkt von vier Transpositionen ist immer in [mm] $A_3$.
[/mm]
> Was genau mache ich falsch beim Berechnen?
Ohne deine Rechnung zu sehen ist das schwer zu sagen.
LG Felix
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