Amplitudenspektrum < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Sa 20.03.2010 | | Autor: | domerich |
| Aufgabe | | geben sie die Werte [mm] u_k=\wurzel{a^2_k+b^2_k} [/mm] an aus einer gegebenen Fourierreihe, [mm] \summe{\bruch{2u_0}{\pi^2 k^2}cos(k\omega t)}, [/mm] a,b sind wohl die Koeffizienten der Fourierreihe. |
Wie ist denn das Amplitudenspektrum definiert? das auf wikipedia kapier ich nicht. was ist das denn wenn ich einzelne werte für k errechne, was sind diese zahlenwerte?
es muss etwas mit dem Betrag von etwas zu tun haben.
gilt [mm] u_k=\wurzel{a^2_k+b^2_k} [/mm] immer für wenn eine Fourierreihe gegeben ist?
(warum ist der [mm] cos(k\omega [/mm] t) egal (klar, er gehört nicht zu den koeffizienten))
Wie sieht es aus wenn die Fouriertransformierte gegeben ist?
dankeschön :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Sa 20.03.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo domerich,
so wie es bei Dir definiert ist, das ist das Amplitudenspektrum, die Wurzel aus dem Betragsquadrat des einzelnen Koeffzienten und das ist der Wurzelausdruck, den Du hingeschrieben hast. Daran ändert sich auch nichts, wenn Du mit einer Fouriertransformierten arbeitest. Bei einer Fourierreihenentwicklung können nur Vielfache der Grundfrequenz auftreten, daher der Faktor k. Hat das Zeitsignal die Periodendauer T, so ist
$$ [mm] \omega [/mm] = [mm] \bruch{2 \pi}{T} [/mm] $$
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Sa 20.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht ist die nicht klar:
[mm] a*sin(\omega*t)+b*cos(\omega*t)=\wurzel{a^2+b^2}*sin(\omega*t+\phi)
[/mm]
d.h. [mm] \wurzel{a_k^2+b_k^2} [/mm] ist die amplitude der k ten Schwingung.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 So 21.03.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Darf ich fragen wie man auf den Ausdruck kommt? Ich hab den Beweis schon in irgend einem meiner Bücher gesehen, finds nur nicht mehr...
Wäre hilfreich wenn mir jemand den wichtigen Schritt bei der Umformung zeigen könnte, wie man von dem Sinus und Cosinus Ausdruck auf einen Ausdruck nur mit einem der beiden mit einer Phasenverschiebung kommt.
a*sin(wt) + b*cos(wt) = [mm] \wurzel{a^{2}+b^{2}}*sin(wt [/mm] + [mm] \delta)
[/mm]
= [mm] \wurzel{a^{2}+b^{2}}*[sin(wt)*cos( \delta) [/mm] + cos(wt)* sin( [mm] \delta)]
[/mm]
Wie komm ich jetzt hier weiter?
Ein Link tuts natürlich auch...
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 So 21.03.2010 | | Autor: | Infinit |
Das ist einfach das Additionstheorem für trigonometrische Funktionen:
$$ [mm] \sin [/mm] (x + y) = [mm] \sin [/mm] x [mm] \cos [/mm] y + [mm] \cos [/mm] x [mm] \sin [/mm] y $$
Damit lässt sich dann durch Vergleich auch ablesen, dass die Phase sich durch den Arcustangens bilden lässt.
Hier ist der Dreizeiler:
$$ u(t) = A [mm] \sin \varphi \cos (\omega [/mm] t) + A [mm] \cos \varphi \sin (\omega [/mm] t) $$ und das ist auch
$$ u(t) = B [mm] \cos (\omega [/mm] t) + C [mm] \sin (\omega [/mm] t) $$
Koeffizientenvergleich liefert
$$ B = A [mm] \sin \varphi [/mm] $$
$$ C = A [mm] \cos \varphi [/mm] $$
Quadrieren und addieren der beiden letzten Gleichungen führt auf
$$ A = [mm] \wurzel{B^2 + C^2} \, [/mm] . $$
Dividieren und Auflösen nach [mm] \varphi [/mm] ergibt
$$ [mm] \varphi [/mm] = [mm] \arctan{\bruch{B}{C}}\, [/mm] . $$
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 So 21.03.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Thanks
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 So 21.03.2010 | | Autor: | domerich |
danke!
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