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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Di 30.11.2004 | | Autor: | Homer |
Ich habe Probleme mit folgenden aufaben:
[Externes Bild http://de.geocities.com/arnezelasko/6668_s6_a4.jpg]
Wie ich in meinen Hinweis es schon formuliert habe denke ich dass man beide Aufgaben mit der Cauchy Schwarze Ungleichung lösen kann aber jeder Versuch mit Umformung verläuft in einer Sackgasse.Hat jemand einen Tip für mich?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=28056
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Hi!
a) 1.) [mm] ||x||_\infty\le||x||_2: [/mm] benutze Definition, dann sieht man es schon
[mm] \left(||x||_\infty=max_{j=1,..,n}|x_j|=\wurzel{max_{j=1,..,n}{x_j}^2}\right)
[/mm]
2.) [mm] ||x||_2\le||x||_1
[/mm]
zeige: [mm] {||x||_1}^2\ge{||x||_2}^2
[/mm]
außerdem ist die Abschätzung scharf, da Gleichheit für [mm] e_1 [/mm] gilt.
b) 1.) (Cauchy-Schwarz) [mm] \sum_{j=1}^n(|x_j|*|1|)\le\wurzel{\sum_{j=1} ^n|x_j|^2}\wurzel{\sum_{j=1}^n|1|}
[/mm]
damit ist [mm] ||x||_1\le\wurzel{n}||x||_2 [/mm] klar
2.) [mm] \wurzel{n}||x||_2\le||x||_\infty \gdw ||x||_2\le\wurzel{n}||x||_\infty [/mm]
einfach zu zeigen mit [mm] \wurzel{\sum_{j=1}^n{x_j}^2}\le\wurzel{n*{x_{max}}^2}
[/mm]
wieder ist die Abschätzung scharf, da Gleichheit für x mit [mm] x_i=a, a\in\IR, [/mm] i=1,...,n
mfg Verena
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