Analysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Di 06.09.2005 | | Autor: | Marie004 |
Hallo,
ich habe eine Frage zum Thema Krümmungskreis.
Die aufgabe die ich gerade bearbeite lautet:
Berechnen sie Radius und Mittelpunkt des Krümmungskreises an die Kurve y = cos(x) im Punkt x0= pi; y0 = -1.
Wie groß ist die Krümmung der Kurve an diesem Punkt?
Man soll die Parameterdarstellung x(t) = t und y(t) = cos(x) verwenden.
Nun brauche ich aber für die Formel des Krümmungsradius den Wert von t0 oder? Wie berechne ich diesen, wenn ich nur die einzelwerte x0 und y0 habe?
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Marie004,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen sie Radius und Mittelpunkt des Krümmungskreises
> an die Kurve y = cos(x) im Punkt x0= pi; y0 = -1.
>
> Wie groß ist die Krümmung der Kurve an diesem Punkt?
>
> Man soll die Parameterdarstellung x(t) = t und y(t) =
> cos(x) verwenden.
>
> Nun brauche ich aber für die Formel des Krümmungsradius den
> Wert von t0 oder? Wie berechne ich diesen, wenn ich nur
> die einzelwerte x0 und y0 habe?
der Krümmungskreis ist definiert als Näherung 2. Ordnung an die Kurve [mm]y\;=\;f(x)[/mm].
Zuerst muss die Kreisgleichung erfüllt werden:
[mm]\left( {x\; - \;\xi } \right)^2 \; + \;\left( {y\; - \;\eta } \right)^2 \; = \;r^2[/mm]
Die zwei noch fehlenden Bedingungen erhält man durch Differenzieren:
[mm]
\begin{gathered}
\left( {x\; - \;\xi } \right)\; + \;y'\;\left( {y\; - \;\eta } \right)\; = \;0 \hfill \\
1\; + \;\left( {y'} \right)^2 \; + \;y''\;\left( {y\; - \;\eta } \right)\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Hieraus lassen sich der Mittelpunkt des Krümmungskreises [mm]\left( {\xi ,\;\eta } \right)[/mm] sowie dessen Radius [mm]r[/mm] berechnen.
Nun ist aber eine Parameterdarstellung des Krümmungskreises gesucht,
Betrachte hier [mm]y\left( {x\left( t \right)} \right)\; = \;y(t)[/mm]. Durch Differenzieren erhältst Du hier die Ableitungen y'(x) und y''(x) als Funktionen von t.
Gruß
MathePower
|
|
|
|
