Analysis 2, Diverse < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Fr 17.07.2009 | | Autor: | martin2 |
| Aufgabe 1 | Grundsätzlich habe ich teilweise noch Probleme bei der Herangehensweise der Stetigkeit in mehreren Variablen. Klar, eine Verknüpfung stetiger Fkt auf dem Def.-Bereich ist wieder stetig, genauso kann ich zeigen dass eine Fkt z.b. in 0 unstetig ist, wenn ich mir im [mm] IR^{2} [/mm] z.b. die 2 Folgen [mm] \bruch{1}{n}, \bruch{1}{n} [/mm] nehme. Aber was ist wenn eine Fkt in 0 stetig ist, wie zeige ich dann das in mehreren Veränderlichen?
beide Bsp vom [mm] \IR^{2}, [/mm] beim 2. ohne 0, nach [mm] \IR
[/mm]
Bsp1:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{x^{5}-4x^{3}y^{2}-xy^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
[/mm]
idee 1:
wähle (x,0) und betrachte x [mm] \to [/mm] 0 , analog für y
idee 2:
wähle zwei bel Nullfolgen [mm] a_{n}, b_{n}, [/mm] die nicht weiter spezifiziert werden und betrachte den GW, nur hier komm ich auch nicht weiter.
y ableitung jeweils analog
Bsp 2:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=2\alpha x(x^{2}+y^{2})^{\alpha -1} [/mm] , [mm] \alpha \not= [/mm] 0
fallunterscheidung für [mm] \alpha [/mm] auf [mm] (-\infty [/mm] , 1), 1, (1, [mm] \infty)
[/mm]
danach wie oben. |
| Aufgabe 2 | Sei [mm] g:C([a,b])\to \IR
[/mm]
f [mm] \to \integral_{a}^{b}{f(x)h(x) dx}
[/mm]
zu zeigen g stetig.
nun ich denke, dass ich diese Aufgabe richtig gelöst habe, aber bin mir noch nicht ganz sicher.
wenn ich nun stetigkeit zeigen möchte, betrachte ich dann
d(f,g)< [mm] \delta
[/mm]
oder
[mm] d(f(x),f(x_{0}) [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
??
ich denke zwar ersteres aber dieses kommt mir eher analog zur gleichmäßigen stetigkeit vor, daher bin ich etwas verunsichert. |
| Aufgabe 3 | Sei [mm] A\subset \IR^{n} [/mm] kompakt, f: A [mm] \to \IR^{m} [/mm] stetig.
zz [mm] \gamma [/mm] = [mm] {(x,y)\subset A\times \IR^{m}|f(x)=y} [/mm] kompakt in [mm] \IR^{n} \times \IR^{m}
[/mm]
Ich weiß dass stetige Fkt kompakte Mengen auf kompakte Mengen abbildet, wollte aber selber zeigen dass f(X) kpt ist.
Habe mir eine bel. Cauchy Folge [mm] y_{k} [/mm] im [mm] \IR^{m} [/mm] gewählt, sodass [mm] d(y_{k}^{n},y_{k}^{m})< \epsilon [/mm] für n,m>N
Nun dachte ich da dies ja eine Cauchy Folge im [mm] \IR^{m} [/mm] ist, habe ich m Cauchy Folgen im [mm] \IR [/mm] d.h. [mm] (y_{k})_{i}
[/mm]
da diese aufgrund der Vollständigkeit des [mm] \IR [/mm] konv., konv auch die gesamte CF für [mm] N:=max{N_{1},...,N_{m}}
[/mm]
Irgendwie ist das für mich logisch aber nach ein bisschen Denken müsste ja somit jeder Teilraum des [mm] \IR^{n} [/mm] kpt sein, da man das immer auf den [mm] \IR [/mm] zurückführen kann. Wo ist der Denkfehler und wie geht es ggf richtig?
analog habe ich natürlich dann auch 2 kpt Räume A und f(X), wie folgt nun dass [mm] \gamma, [/mm] der Raum der (x,y) kpt ist? |
Hallo,
ich habe einige Fragen zur Analysis 2, die sich nicht direkt einem Thema zuordnen lassen.
Es ist zwar etwas viel auf einmal, aber 3 Themen hierfür wäre sicherlich ähnlich doof. Hoffe dass mir jemand helfen mag :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:18 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
> Es ist zwar etwas viel auf einmal, aber 3 Themen hierfür
> wäre sicherlich ähnlich doof.
Nein, bitte stelle unabhängige Fragen auch in unterschiedlichen Threads. Anderenfalls kann es hier sehr schnell unübersichtlich werden.
Gruß
Loddar
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Hi,
> Sei [mm]A\subset \IR^{n}[/mm] kompakt, f: A [mm]\to \IR^{m}[/mm] stetig.
>
> zz [mm]\gamma[/mm] = [mm]{(x,y)\subset A\times \IR^{m}|f(x)=y}[/mm] kompakt
> in [mm]\IR^{n} \times \IR^{m}[/mm]
>
> Ich weiß dass stetige Fkt kompakte Mengen auf kompakte
> Mengen abbildet, wollte aber selber zeigen dass f(X) kpt
> ist.
OK, dir ist aber klar, dass das nicht die aufgabe ist, oder? Du sollst die kompaktheit des kartesischen produktes zeigen!
> Habe mir eine bel. Cauchy Folge [mm]y_{k}[/mm] im [mm]\IR^{m}[/mm] gewählt,
> sodass [mm]d(y_{k}^{n},y_{k}^{m})< \epsilon[/mm] für n,m>N
>
> Nun dachte ich da dies ja eine Cauchy Folge im [mm]\IR^{m}[/mm] ist,
> habe ich m Cauchy Folgen im [mm]\IR[/mm] d.h. [mm](y_{k})_{i}[/mm]
> da diese aufgrund der Vollständigkeit des [mm]\IR[/mm] konv., konv
> auch die gesamte CF für [mm]N:=max{N_{1},...,N_{m}}[/mm]
> Irgendwie ist das für mich logisch aber nach ein bisschen
> Denken müsste ja somit jeder Teilraum des [mm]\IR^{n}[/mm] kpt
> sein, da man das immer auf den [mm]\IR[/mm] zurückführen kann. Wo
> ist der Denkfehler und wie geht es ggf richtig?
das ist allerdings ein denkfehler...  du verwechselst kompaktheit mit vollstaendigkeit. Letzteres bedeutet, dass CFen konvergieren muessen. Ersteres (je nachdem wie ihr es definiert habt), dass JEDE folge eine konvergente teilfolge haben muss.
>
> analog habe ich natürlich dann auch 2 kpt Räume A und
> f(X), wie folgt nun dass [mm]\gamma,[/mm] der Raum der (x,y) kpt
> ist?
> Hallo,
Nimm dir doch mal eine beliebige folge [mm] $(x_i,y_i)$. [/mm] Jetzt musst du ausnutzen, dass sowohl A als auch f(A) kompakte mengen sind und das ganze so kombinieren, dass du die aussage fuer das kart. produkt erhaeltst...
gruss
matthias
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