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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Analysis 2, Diverse
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Analysis 2, Diverse: Einige Fragen zur Analysis 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:16 Fr 17.07.2009
Autor: martin2

Aufgabe 1
Grundsätzlich habe ich teilweise noch Probleme bei der Herangehensweise der Stetigkeit in mehreren Variablen. Klar, eine Verknüpfung stetiger Fkt auf dem Def.-Bereich ist wieder stetig, genauso kann ich zeigen dass eine Fkt z.b. in 0 unstetig ist, wenn ich mir im [mm] IR^{2} [/mm] z.b. die 2 Folgen [mm] \bruch{1}{n}, \bruch{1}{n} [/mm] nehme. Aber was ist wenn eine Fkt in 0 stetig ist, wie zeige ich dann das in mehreren Veränderlichen?

beide Bsp vom [mm] \IR^{2}, [/mm] beim 2. ohne 0, nach [mm] \IR [/mm]

Bsp1:

[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{x^{5}-4x^{3}y^{2}-xy^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} [/mm]

idee 1:
wähle (x,0) und betrachte x [mm] \to [/mm] 0 , analog für y

idee 2:
wähle zwei bel Nullfolgen [mm] a_{n}, b_{n}, [/mm] die nicht weiter spezifiziert werden und betrachte den GW, nur hier komm ich auch nicht weiter.

y ableitung jeweils analog

Bsp 2:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=2\alpha x(x^{2}+y^{2})^{\alpha -1} [/mm] , [mm] \alpha \not= [/mm] 0

fallunterscheidung für [mm] \alpha [/mm] auf [mm] (-\infty [/mm] , 1), 1, (1, [mm] \infty) [/mm]

danach wie oben.

Aufgabe 2
Sei [mm] g:C([a,b])\to \IR [/mm]
f [mm] \to \integral_{a}^{b}{f(x)h(x) dx} [/mm]

zu zeigen g stetig.

nun ich denke, dass ich diese Aufgabe richtig gelöst habe, aber bin mir noch nicht ganz sicher.

wenn ich nun stetigkeit zeigen möchte, betrachte ich dann

d(f,g)< [mm] \delta [/mm]
oder
[mm] d(f(x),f(x_{0}) [/mm] < [mm] \delta [/mm]

??

ich denke zwar ersteres aber dieses kommt mir eher analog zur gleichmäßigen stetigkeit vor, daher bin ich etwas verunsichert.

Aufgabe 3
Sei [mm] A\subset \IR^{n} [/mm] kompakt, f: A [mm] \to \IR^{m} [/mm] stetig.

zz [mm] \gamma [/mm] =  [mm] {(x,y)\subset A\times \IR^{m}|f(x)=y} [/mm] kompakt in [mm] \IR^{n} \times \IR^{m} [/mm]

Ich weiß dass stetige Fkt kompakte Mengen auf kompakte Mengen abbildet, wollte aber selber zeigen dass f(X) kpt ist.
Habe mir eine bel. Cauchy Folge [mm] y_{k} [/mm] im [mm] \IR^{m} [/mm] gewählt, sodass [mm] d(y_{k}^{n},y_{k}^{m})< \epsilon [/mm] für n,m>N

Nun dachte ich da dies ja eine Cauchy Folge im [mm] \IR^{m} [/mm] ist, habe ich m Cauchy Folgen im [mm] \IR [/mm] d.h. [mm] (y_{k})_{i} [/mm]
da diese aufgrund der Vollständigkeit des [mm] \IR [/mm] konv., konv auch die gesamte CF für [mm] N:=max{N_{1},...,N_{m}} [/mm]
Irgendwie ist das für mich logisch aber nach ein bisschen Denken müsste ja somit jeder Teilraum des [mm] \IR^{n} [/mm] kpt sein, da man das immer auf den [mm] \IR [/mm] zurückführen kann. Wo ist der Denkfehler und wie geht es ggf richtig?

analog habe ich natürlich dann auch 2 kpt Räume A und f(X), wie folgt nun dass [mm] \gamma, [/mm] der Raum der (x,y) kpt ist?

Hallo,

ich habe einige Fragen zur Analysis 2, die sich nicht direkt einem Thema zuordnen lassen.

Es ist zwar etwas viel auf einmal, aber 3 Themen hierfür wäre sicherlich ähnlich doof. Hoffe dass mir jemand helfen mag :)

        
Bezug
Analysis 2, Diverse: einzeln fragen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:18 Sa 18.07.2009
Autor: Loddar

Hallo Martin!


> Es ist zwar etwas viel auf einmal, aber 3 Themen hierfür
> wäre sicherlich ähnlich doof.

Nein, bitte stelle unabhängige Fragen auch in unterschiedlichen Threads. Anderenfalls kann es hier sehr schnell unübersichtlich werden.


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Analysis 2, Diverse: zu Aufgabe 3
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:43 So 19.07.2009
Autor: MatthiasKr

Hi,

>  Sei [mm]A\subset \IR^{n}[/mm] kompakt, f: A [mm]\to \IR^{m}[/mm] stetig.
>  
> zz [mm]\gamma[/mm] =  [mm]{(x,y)\subset A\times \IR^{m}|f(x)=y}[/mm] kompakt
> in [mm]\IR^{n} \times \IR^{m}[/mm]
>  
> Ich weiß dass stetige Fkt kompakte Mengen auf kompakte
> Mengen abbildet, wollte aber selber zeigen dass f(X) kpt
> ist.

OK, dir ist aber klar, dass das nicht die aufgabe ist, oder? Du sollst die kompaktheit des kartesischen produktes zeigen!

>  Habe mir eine bel. Cauchy Folge [mm]y_{k}[/mm] im [mm]\IR^{m}[/mm] gewählt,
> sodass [mm]d(y_{k}^{n},y_{k}^{m})< \epsilon[/mm] für n,m>N
>  
> Nun dachte ich da dies ja eine Cauchy Folge im [mm]\IR^{m}[/mm] ist,
> habe ich m Cauchy Folgen im [mm]\IR[/mm] d.h. [mm](y_{k})_{i}[/mm]
>  da diese aufgrund der Vollständigkeit des [mm]\IR[/mm] konv., konv
> auch die gesamte CF für [mm]N:=max{N_{1},...,N_{m}}[/mm]
>  Irgendwie ist das für mich logisch aber nach ein bisschen
> Denken müsste ja somit jeder Teilraum des [mm]\IR^{n}[/mm] kpt
> sein, da man das immer auf den [mm]\IR[/mm] zurückführen kann. Wo
> ist der Denkfehler und wie geht es ggf richtig?

das ist allerdings ein denkfehler... ;-) du verwechselst kompaktheit mit vollstaendigkeit. Letzteres bedeutet, dass CFen konvergieren muessen. Ersteres (je nachdem wie ihr es definiert habt), dass JEDE folge eine konvergente teilfolge haben muss.

>  
> analog habe ich natürlich dann auch 2 kpt Räume A und
> f(X), wie folgt nun dass [mm]\gamma,[/mm] der Raum der (x,y) kpt
> ist?
>  Hallo,

Nimm dir doch mal eine beliebige folge [mm] $(x_i,y_i)$. [/mm] Jetzt musst du ausnutzen, dass sowohl A als auch f(A) kompakte mengen sind und das ganze so kombinieren, dass du die aussage fuer das kart. produkt erhaeltst...

gruss
matthias

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