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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Sa 02.07.2005 | | Autor: | mausi81 |
Hallo!
Ich habe mal wieder ein Problem und zwar mit dieser Aufgabe:
Es sei A [mm] \in R^{dxd} [/mm] symmetrisch und positiv definit. Zeige dass
[mm] \integral_{R^{d}} e^{- }dx [/mm] = [mm] \pi^{d/2}\wurzel{det A^{-1}},
[/mm]
wobei (. , .) das euklidische Skalarprodukt auf [mm] R^{d} [/mm] bezeichnet,
ich habe versucht es mit Hilfe von Hauptachsentransformation zu lösen, hat aber nicht geklappt, aber ich glaube dass man es schon damit rechnet.
Danke in Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Sa 02.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Diana!
Zunächst einmal musst du wissen (oder dir herleiten), dass
[mm] $\int\limits_{\IR^d} e^{-\Vert x \Vert^2}\, [/mm] dx = [mm] \pi^{\frac{d}{2}}$
[/mm]
gilt.
So, nun geht es weiter:
Da $A$ symmetrisch ist, gibt es eine orthogonale Matrix $U$ mit
$D=U^TAU$,
wobei $D$ eine Diagonalmatrix ist, in deren Einträge die positiven (da $A$ positiv definit ist) Eigenwerte von $A$ stehen. Insbesondere existiert [mm] $\sqrt{D}$.
[/mm]
Nun gilt:
[mm] $\int\limits_{\IR^d} e^{-\langle Ax,x \rangle}\, [/mm] dx$
$= [mm] \int\limits_{\IR^d} e^{-\langle AUx,Ux \rangle}\, [/mm] dx$
(Transformation $x [mm] \mapsto [/mm] Ux$ unter Beachtung von [mm] $\det(U)=1$)
[/mm]
[mm] $=\int\limits_{\IR^d} e^{-\langle U^TAUx,x\rangle}\, [/mm] dx$
[mm] $=\int\limits_{\IR^d} e^{-\langle Dx,x \rangle}\, [/mm] dx$
[mm] $=\int\limits_{\IR^d} e^{-\langle \sqrt{D}x,\sqrt{D}x \rangle}\, [/mm] dx$
[mm] ($\sqrt{D}$ [/mm] ist symmetrisch und orthogonal)
[mm] $=\int\limits_{\IR^d} \det(\sqrt{D}^{\, -1}) \, e^{-\langle x,x \rangle}\, [/mm] dx$
(Transformation $x [mm] \mapsto \sqrt{D}x$)
[/mm]
[mm] $=\int\limits_{\IR^d} \sqrt{\det(A^{-1})} \, e^{-\Vert x \Vert^2}\, [/mm] dx$
[mm] $=\pi^{\frac{d}{2}}\, \sqrt{\det(A^{-1})}$.
[/mm]
Ich habe bewusst einige Lücken gelassen, über die du noch einmal in Ruhe nachdenken und diese dann füllen solltest. Du kannst dich bei konkreten Fragen aber auch gerne wieder melden. 
Viele Grüße
Stefan
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