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| Aufgabe | 1. Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(x)=x^3-3[/mm] [mm] \cdot [/mm][mm] x^1-x+3 [/mm] ; [mm] x \in \empty [/mm] R
a) Ermitteln Sie die Nullstellen, Extrem- und Wendeounkte!
b) Geben Sie die Gleichung der Wendetangente an. Unter welchem
Winkel schneidet die Wendetangente die x-Achse?
c) Zeichnen Sie das Bild der Funktion f für -1,5 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3,5
d) Die Funktion f schließt mit der x-Achse Flächen vollständig ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Fläche, die oberhalb der x-Achse liegt!
e) Eine quadratische Parabel p, die die x-Achse in den Punkten P(-1/0) und Q(1/0) schneidet, schließt mit der x-Achse ebenfalls den Flächeninhalt A ein. Bestimmen Sie die Gleichung y=p(x) dieser Parabel für den Fall, dass die eingeschlossene Fläche unterhalb der x-Achse liegt! |
Hey!
Die Teile a) bis d) konnte ich ohne Problem lösen. Wäre super, wenn mir jetzt noch jemand den Teil e) ganz ausführlich und Schritt für Schritt erklären könnte.
Hier aber erstmal die Lösungen für a) bis d):
a) Nullstellen: [mm] x_1 [/mm] = 1 ; [mm] x_2 [/mm] = 3 ; [mm] x_3 [/mm] = -1
Tiefpunkt (2,155/-3,08)
Hochpunkt (-0,155/3,08)
b) y=-4x+4 Winkel ist 76° groß
c) zeichnen kann das dann ja jeder für sich
d) A=4FE
Nun fehlt nur noch e).
Bitte, bitte helft mir!!!!
MFG Nicole
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 So 09.04.2006 | | Autor: | DAB268 |
e) Fehlt mir auch! ^^
Vielleicht solltest du die Aufgabe noch posten.
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Was meinst du denn mit die Aufgabe posten? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Bin echt schon fast am Verzweifeln!!! Müsste die Aufgabe eigentlich auch lösen können, weil sie im Jahr 1999 im Abitur dran kam und ich mich für dieses Jahr darauf vorbereite. Also wenn ich das zu haus schon nicht mal hin bekommen, na dann weiß ich ja, wie ich dann in der prüfung da sitze.![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 So 09.04.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
Das ist ja alles schön und gut, was du da schreibst, aber du müsstest uns deine Aufgabe e erstmal aufschreiben, damit wir deine Fragen beantworten können. Das hast du nämlich vergessen!
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 So 09.04.2006 | | Autor: | prfk |
Also deine Ergebnisse stimmen alle.
Allerdings hast du keinen Wendepunkt angegeben. Der liegt bei W=(1/0)
zu Aufgabe e.)
Wir wissen, dass gelten muss:
[mm] \integral_{-1}^{1}{ax^{2}-b dx} =-4[/mm]
Die Grenzen ergeben sich aus den Nullstellen. Das -b, weil es sich um eine nach oben geöffnete, nach untern verschobene Parabel handeln muss. Da es sich bei dem zu berechnenden flächeninhalt um einen Teil unterhalb der x-achse Handelt muss das Integral -4 ergeben.
Wenn man das Integral löst, erhält man folgende Gleichung: a-3b =-6
Aus den Nullstellen folgt durch einsetzen der x-Werte in [mm] ax^{2}-b: [/mm] a-b=0
Nun Hat man 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.
a=b=3 ist die lösung.
Die Gleichung der Parabel lautet also:
[mm] g(x)=3x^{2}-3
[/mm]
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Kann mir das auch einer Schritt für Schritt und idiotensicher erklären? Kann der Lösung nämlich nicht ganz folgen. Trotzdem vielen dank für die bereits versuchten Lösungen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Mo 10.04.2006 | | Autor: | prfk |
Ok dann will ich noch mal n bisschen genauer werden.
Wir suchen eine Parabel (==>g(x)= [mm] ax^{2}+b), [/mm] die unterhalb der X-Achse mit dieser eine Fläche einschließen soll. Also muss es sich bei der gesuchten Parabel um eine nach oben geöffnete und nach unten Verschobene Parabel handeln (==>g(x)= [mm] ax^{2}-b). [/mm] Die Nullstellen sollen in den Angegebenen Punkten liegen. Damit solltest du jetzt in der Lage sein die Parabel qualitativ zu zeichnen.
Die Fläche die du in Aufgabe d.) berechnet hast, war 4FE. Da in Aufgabe e.) jetzt nach eine Fläche unterhalb der x-Achse gefragt ist, müssen wir sie negativ annehmen.
Daraus folgt, dass das Integral über die gesuchte Parabel -4 ergeben muss.
Die Lösung des Integrals traue ich dir selber zu. Wenns nicht klappt, kann ich dir das aber auch gerne noch mal vorrechnen.
Wir erhalten daraus die Gleichung: a-3b=-6
Nun brauchen wir noch eine Gleichung um a und b bestimmen zu können. Wir setzen dazu den x-Wert einer der beiden Nulstellen und die Gleichung [mm] ax^{2}-b=0 [/mm] ein. Welche Nulstelle wir einsetzen ist egal. Daraus erhalten wir die Gleichung a-b=0 bzw. a=b.
Nun kann man a und b bestimmen und in die Gleichung einsetzen.
Mit a=b=3 ergibt sich die Gleichung der Parabel zu [mm] g(x)=3x^{2}-3
[/mm]
Falls du noch Fragen hast, schreib doch bitte noch einmal genau, wo etwas unklar ist.
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So ich hab das jetzt mal versucht und doch tatsächlich auch ohne Probleme geschafft. Mein Problem ist einfach, dass ich von selbst immer nicht auf den Lösungsansatz komme.
Also hier mal meine Lösungsversuch (falls noch etwas falsch ist oder einfacher gerechnet werden könnte bitte nochmal korrigieren)
[mm] g(x)=ax^2+b [/mm]
Parable ist aber nach oben geöffnet und nach unten verschoben. Deshalb: [mm] g(x)=ax^2-b
[/mm]
Dazu jetzt aber nochmal ne kleine Unklarheit: Wo steht denn diese Gleichung. Hab sie in meinem Tafelwerk nicht gefunden. Oder sollt man die als aufmerksamer Schüler im Kopf haben. Wäre schön wenn mir noch einer sagt, woher diese Parabelgleichung kommt und warum vor dem b dann ein Minus stehen muss, wenn sie nach unten verschoben und nach oben geöffnet sein soll.
da die Fläche unterhalb der x-Achse liegt muss A=-4 raus kommen
A=mm] [mm] \int_{-1}^{1}(ax^2-b)\, [/mm] dx
A=[mm] [ \bruch{1}{3} ax^3-bx] _2^3 [/mm]
A=([mm] \bruch{1}{3} [/mm]a-b)-(-[mm] \bruch{1}{3} [/mm]a+b)
-4=[mm] \bruch{1}{3} [/mm]a-b+[mm] \bruch{1}{3} [/mm]a-b /[mm] * [/mm]3
-12=2a-6b /:2
-6=a-3b
es wird eine weitere Gleichung benötigt, um a und b heraus zu bekommen. Q oder P in Parabelgleichung einsetzen
[mm] ax^2-b=g(x) [/mm] Q(1/0)
a-b=0
a=b
-6=a-3a
-6=-2a /: (-2)
a=3=b
[mm] g(x)=3x^2-3 [/mm]
Hoffe das ist jetz alles richtig. Danke für die bisherige Hilfe!
Liebe Grüße Nicole
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Nicky,
> So ich hab das jetzt mal versucht und doch tatsächlich auch
> ohne Probleme geschafft. Mein Problem ist einfach, dass ich
> von selbst immer nicht auf den Lösungsansatz komme.
> Also hier mal meine Lösungsversuch (falls noch etwas falsch
> ist oder einfacher gerechnet werden könnte bitte nochmal
> korrigieren)
>
> [mm]g(x)=ax^2+b[/mm]
> Parable ist aber nach oben geöffnet und nach unten
> verschoben. Deshalb: [mm]g(x)=ax^2-b[/mm]
> Dazu jetzt aber nochmal ne kleine Unklarheit: Wo steht
> denn diese Gleichung. Hab sie in meinem Tafelwerk nicht
> gefunden. Oder sollt man die als aufmerksamer Schüler im
> Kopf haben. Wäre schön wenn mir noch einer sagt, woher
> diese Parabelgleichung kommt und warum vor dem b dann ein
> Minus stehen muss, wenn sie nach unten verschoben und nach
> oben geöffnet sein soll.
also, es ist tatsächlich so, dass man als aufmerksamer, fleissiger Schüler folgendes über Parabeln wissen sollte  :
[mm] y=x^2 [/mm] die Normalparabel (NP)
[mm] y=a*x^2, [/mm] für a>0 nach oben geöffnet
für a<0 nach unten geöffnet
für |a|>1 gestreckt im Vergleich zur NP
für |a|<1 gestaucht im Vergleich zur NP
[mm] y=x^2+b [/mm] für b>0 nach oben verschoben (entlang der y-Achse)
für b<0 nach unten verschoben (entlang der y-Achse)
[mm] y=(x-c)^2 [/mm] für c>0 nach rechts verschoben (entlang der x-Achse)
für c<0 nach links verschoben (entlang der x-Achse)
[mm] y=a(x-c)^2+b [/mm] ist die Scheitelpunktsform, man kann den Scheitelpunkt
S(c|b), Öffnungsrichtung und Stauchung oder
Streckung einfach ablesen
Du hättest übrigens nicht unbedingt mit -b ansetzen müssen, wenn du ganz allgemein mit +b angesetzt hättest, hättest du dasselbe rausbekommen.
>
> da die Fläche unterhalb der x-Achse liegt muss A=-4 raus
> kommen
> A=mm] [mm]\int_{-1}^{1}(ax^2-b)\,[/mm] dx
> A=[mm] [ \bruch{1}{3} ax^3-bx] _2^3[/mm]
Hier muss es natürlich [mm] ]_{-1}^1 [/mm] heissen
> A=([mm] \bruch{1}{3} [/mm]a-b)-(-[mm] \bruch{1}{3} [/mm]a+b)
>
> -4=[mm] \bruch{1}{3} [/mm]a-b+[mm] \bruch{1}{3} [/mm]a-b /[mm] * [/mm]3
> -12=2a-6b
> /:2
> -6=a-3b
>
> es wird eine weitere Gleichung benötigt, um a und b heraus
> zu bekommen. Q oder P in Parabelgleichung einsetzen
> [mm]ax^2-b=g(x)[/mm] Q(1/0)
> a-b=0
> a=b
>
> -6=a-3a
> -6=-2a /: (-2)
> a=3=b
>
> [mm]g(x)=3x^2-3[/mm]
>
>
> Hoffe das ist jetz alles richtig. Danke für die bisherige
> Hilfe!
> Liebe Grüße Nicole
ansonsten ist mir kein Fehler aufgefallen.
LG Walde
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Mi 12.04.2006 | | Autor: | prfk |
Moin
Also die Gleichung [mm] y(x)=ax^{2}+b [/mm] sollte man eigendlich im Kopf haben. Oder sagen wir mal es wäre auf jeden Fall hilfreich.
Wenn man sie nicht kennt, kann man sie sich aber leicht herleiten.
Wir wissen, dass [mm] y(x)=x^{2} [/mm] die Normalparabel ist. Sie Verläuft durch den Ursprung und ist wie alle Gleichungen 2ten Grades symmetrisch zur y-Achse.
Dass sie durch den Ursprung geht, kann man schnell einsehen, wenn man x=0 einsetzt. [mm] (y(0)=0^{2} [/mm] = 0)
Kommen wir nun zum Faktor "a".
Dieser gibt an, wie weit die Parabel geöffnet ist.
Für 0<a<1 wird die Parabel flacher als die normalparabel und sie steigt nicht so schnell an.
Für a=1 erhalten wir die Normalparabel
Für 1<a [mm] <\infty [/mm] wird die Parabel enger und sie steigt steiler an.
Wenn a<0 ist, bekommen wir negative Funktionswerte, somit muss sie nach unten geöffnet sein und ihr Maximum im Ursprung besitzen.
Nun zu "b".
Diese Zahl, gibt in der Gleichung [mm] y(x)=ax^{2}+b [/mm] den schnittpunkt mit der Y-Achse an. (Dazu einfach x=0 einsetzen)
Ab einfachsten ist es, wenn du noch probleme mit dem Verständnis hast, dass du dir Zettel und Stift nimmst und einfach mal ein paar verschiedene Parabeln zeichnest.
Gruß
prfk
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