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| Aufgabe | | 4) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass 7 die Zahl [mm] $2^{n+1}+3^{2n-1}$ [/mm] teilt f"ur alle [mm] $n\geq1$. [/mm] |
4) [mm] Induktionsanfang\\
[/mm]
[mm] $n=1$\\
[/mm]
[mm] $2^{1+1}+3^{2*1-1}=2^2+3^1=7=7*1$\\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] Induktionvoraussetzung\\
[/mm]
Sei [mm] $7|(2^{n+1}+3^{2n-1})$ [/mm] f"ur n=k [mm] wahr.\\
[/mm]
[mm] $a\in \mathbf{Z}$\\
[/mm]
[mm] $2^{k+1}+3^{2k-1}=7a$\\
[/mm]
[mm] $2^{k+1}=7a-3^{2k-1}$\\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] Induktionsbehauptung\\
[/mm]
Für $n=k+1$ [mm] gilt:\\
[/mm]
[mm] $7|(2^{n+1}+3^{2n-1})$\\
[/mm]
[mm] \\
[/mm]
[mm] Induktionsbeweis\\
[/mm]
Sei [mm] $n=k+1$\\
[/mm]
Dann erhalten [mm] wir:\\
[/mm]
[mm] $2^{(k+1)+1}+3^{2*(k+1)-1}\\
[/mm]
[mm] =2*2^{k+1}+3^{2k+1}$\\
[/mm]
Hier setzen wir die Induktionsvoraussetzung [mm] ein.\\
[/mm]
[mm] $=2*(7a-3^{2k-1})+3^{2k+1}\\
[/mm]
[mm] =14-3^{2k-1}*2+3^{2k+1}\\
[/mm]
[mm] =-3^{2k}*\frac{2}{3}+3^{2k}*3+14a\\
[/mm]
[mm] =3^{2k}*(3-\frac{2}{3})+14a\\
[/mm]
[mm] =3^{2k}*\frac{7}{3}+14a\\\\
[/mm]
[mm] =7*(2a+3^{2k-1})$\\\\
[/mm]
Da [mm] $3^j$ [/mm] eine ganze Zahl ist f"ur alle [mm] $j\in \mathbf{N_0}$ [/mm] und $2k-1>0$ ist, [mm] \\
[/mm]
(wir wollen ja etwas über $n$, bzw. [mm] $k\geq1$ [/mm] aussagen) und $a$ auch ganzzahlig ist, sieht man leicht, [mm] \\
[/mm]
dass $7*(ganze [mm] \,Zahl)$ [/mm] durch 7 (restlos) teilbar ist. q.e.d.
Fällt euch was auf, das falsch ist? Auch Tippfehler gerne sagen
Edit: wie kann man hier so ein "Widerspruch" pfeil machen?
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> 4) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass 7 die
> Zahl [mm]2^{n+1}+3^{2n-1}[/mm] teilt f"ur alle [mm]n\geq1[/mm].
>
>
>
Moin!
>
> 4) [mm]Induktionsanfang\\[/mm]
> [mm]n=1[/mm][mm] \\[/mm]
> [mm]2^{1+1}+3^{2*1-1}=2^2+3^1=7=7*1[/mm][mm] \\[/mm]
> [mm]\\[/mm]
> [mm]Induktionvoraussetzung\\[/mm]
> Sei [mm]7|(2^{n+1}+3^{2n-1})[/mm] f"ur n=k [mm]wahr.\\[/mm]
Dann gibt es ein
> [mm]a\in \mathbf{Z}[/mm][mm] \\[/mm]
mit
> [mm] \\[/mm][mm]2^{k+1}+3^{2k-1}=7a[/mm],
> [mm]2^{k+1}=7a-3^{2k-1}[/mm][mm] \\[/mm]
> [mm]\\[/mm]
> [mm]Induktionsbehauptung\\[/mm]
> Für [mm]n=k+1[/mm] [mm]gilt:\\[/mm]
> [mm]7|(2^{n+1}+3^{2n-1})[/mm][mm] \\[/mm]
> [mm]\\[/mm]
> [mm]Induktionsbeweis\\[/mm]
> Sei [mm]n=k+1[/mm][mm] \\[/mm]
Es ist
> [mm]2^{(k+1)+1}+3^{2*(k+1)-1}\\[/mm]
> [mm]=2*2^{k+1}+3^{2k+1}\\[/mm]
> Hier setzen wir die Induktionsvoraussetzung [mm]ein.\\[/mm]
> [mm]=2*(7a-3^{2k-1})+3^{2k+1}\\[/mm]
> [mm]=14\red{a}-3^{2k-1}*2+3^{2k+1}\\[/mm]
> [mm]=-3^{2k}*\frac{2}{3}+3^{2k}*3+14a\\[/mm]
> [mm]=3^{2k}*(3-\frac{2}{3})+14a\\[/mm]
> [mm]=3^{2k}*\frac{7}{3}+14a\\\\[/mm]
> [mm]=7*(2a+3^{2k-1})[/mm][mm] \\\\[/mm]
[/mm]
> Da [mm]3^j[/mm] eine ganze Zahl ist f"ur alle [mm]j\in \mathbf{N_0}[/mm] und
> [mm]2k-1>0[/mm] ist, [mm]\\[/mm]
> (wir wollen ja etwas über [mm]n[/mm], bzw. [mm]k\geq1[/mm] aussagen) und [mm]a[/mm]
> auch ganzzahlig ist, sieht man
> [s]leicht, dass 7*(ganze Zahl) durch 7 (restlos) teilbar ist.[s]
daß [mm] 2^{(k+1)+1}+3^{2*(k+1)-1} [/mm] ein ganzzahliges Vielfaches von 7 ist.
Also teilt 7 die Zahl [mm] 2^{(k+1)+1}+3^{2*(k+1)-1}.
[/mm]
> q.e.d.
LG Angela
>
> Fällt euch was auf, das falsch ist? Auch Tippfehler gerne
> sagen
>
>
> Edit: wie kann man hier so ein "Widerspruch" pfeil machen?
>
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