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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 So 22.05.2005 | | Autor: | aka |
hallo,
kann mir jemand erklären wo der zusammenhang zwischen mittelwertsatz und zwischenwertsatz liegt?
danke
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 So 22.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo aka,
ich denke da gibt es so keinen Zusammenhang. Der Zwischenwertsatz besagt ja, dass für [mm] $f:[a,b]\to\IR$ [/mm] stetig jeder Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ angenommen wird.
Es gibt natürlich auch einen Zwischenwertsatz für die Ableitung, da aus [mm] $f:[a,b]\to\IR$ [/mm] die Stetigkeit von [mm] $f':[a,b]\to\IR$ [/mm] folgt. D.h. $f'$ nimmt auch jeden Wert zwischen $f'(a)$ und $f'(b)$ an.
Hingegen besagt ja der Mittelwertsatz, dass es für differenzierbares [mm] $f:[a,b]\to\IR$ [/mm] eine Stelle gibt, an der die momentane Steigung der mittleren Steigung auf $[a,b]$ entspricht. Das hat meines Erachtens eine höhere Aussagekraft.
Als Beispiel sei mal ein Polynom dritten Grades mit einem Hochpunkt bei $(0|4)$ und einem Tiefpunkt bei $(4|0)$ gewählt. Wegen $f'(0)=f'(4)=0$ weißt du nach dem Zwischenwertsatz über die Ableitung nur, dass es Stellen in $[a;b]$ gibt, an denen $f'$ den Wert $0$ hat. Nach dem Mittelwertsatz weißt du aber auch, dass es eine Stelle [mm] $\zeta\in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $f'(\zeta)=\frac{4-0}{0-4}=-1$ [/mm] gibt.
Gruß Max
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