Analysis S.107 Nr. 12 < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Mi 18.04.2007 | | Autor: | jweber89 |
Hallo zusammen! Ich danke euch schonmal im vorraus für eure Hilfe.
Ich finde bei folgender Aufgabe noch nicht mal einen Ansatz:
Auf einem dreieckigen Grundstück soll eine rechteckige Lagerhalle gebaut werden. Bestimmen Sie die größtmögliche Fläche, wenn diese:
a) bis zur Grundstücksgrenze reichen darf
b) 3m Abstand zur Grenze haben muss.
Aus der Zeichnung ist abzulesen, dass das dreieckige Grundstück rechtwinklig ist und die beiden Katheten 60 und 80 Meter breit sind.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
nennen wir die Seiten der Lagerhalle x und y. Dann gilt für den Flächeninhalt A(x,y)= x * y
Nun hast du eine Gleichung mit zwei Variablen. Daher musst du jetzt noch eine Nebenbedingung suchen. Ein Zeichnung hast du ja schon, jetzt versuche mal mit Hilfe des Strahlensatzes eine weiter Bedingung für x und y zu finden. Diese kannst du dann oben in die Funktion einsetzen.
Die neue Funktion A(x) kannst du dann ableiten, um so ein Extremum der Funktion zu finden und damit den maximalen Flächeninhalt zu bestimmen.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Mi 18.04.2007 | | Autor: | jweber89 |
Ja diese Nebenbedingung fehlt mir. Was hat denn der Strahlensatz damit zu tun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Mi 18.04.2007 | | Autor: | ONeill |
Hy!
also wie die Zeichnung bei dir im Buch ist weiß ich nicht, ich stell mir das grad so vor:
Die Tangente mit den 80 Metern steht senkrecht (ist praktisch ein Stück der y-Achse eines Koordinatensystems). Die Tangente die 60 Meter lang ist liegt waagerecht (praktisch ein Teil der x-Achse). Der Schnittpunkt der beiden Katheten ist dann der Ursprung.
Die Enden der beiden Katheten kann man verbinden um dann auf ein Dreieck zu kommen. Diese Verbindungslinie kann man mit der Funktion [mm] y=-\bruch{4}{3}x+80 [/mm] beschreiben. Ich hoffe wie man darauf kommt ist dir klar.
Der Flächeninhalt ist A=x*y dann wird für y die Funktion eingesetzt.
[mm] A(x)=x*(-\bruch{4}{3}+80)
[/mm]
[mm] A(x)=-\bruch{4}{3}x^2+80x
[/mm]
Dann musst du praktisch die Extremstellen ermitteln:
notwendige Bedingung: A´(x)=0
[mm] A´(x)=-\bruch{8}{3}x+80=0
[/mm]
Stellt man das nach x um kommt raus x=30
Da musst du noch überprüfen, ob das auch wirklich ein Maximum ist.
hinreichende Bedingung: A´(x)=0 und A´´(x)ungleich0
[mm] A´´(30)=-\bruch{8}{3}<0, [/mm] somit leigt hier tatsächlich ein Maximum vor.
Nun müssen noch die Randwerte überprüft werden: also 0 und 30, doch auch da ergibt sich kein größerer Flächeninhalt.
Der maximale Flächeninhalt ist somit [mm] 1200m^2.
[/mm]
Mit diesem Beispiel sollte es dir nun gelingen die Aufgabe b zu lösen.
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Hallo jweber89 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Ja diese Nebenbedingung fehlt mir. Was hat denn der
> Strahlensatz damit zu tun?
Das ist eine typische  MiniMaxAufgabe. Dabei musst du aus den geometrischen Gegebenheiten eine Beziehung zwischen den (zunächst) zwei Variablen der Hauptbedingung finden. Der Strahlensatz ist eine solche Möglichkeit.
Gruß informix
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