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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Fr 19.03.2004 | | Autor: | Sabrina |
Brauche dringend Hilfe beim Lösen dieser Aufgabe!
Gegeben: Funktion f [mm] t(X)=1/4tx^3-3/2tx^2+(2t+2)x [/mm] mit xR, tR
K t ins Schaubild von f t
Zeigen sie,dass die Schnittpunkte von K t und K 0 unabhänig von t sind
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Fr 19.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Sabrina,
willkommen im MatheRaum  !
> Brauche dringend Hilfe beim Lösen dieser Aufgabe!
> Gegeben: Funktion f
> [mm] t(X)=1/4tx^3-3/2tx^2+(2t+2)x [/mm] mit xR, tR
> K t ins Schaubild von f t
Die Funktionenschar lautet also [mm] $f_t(x)=\bruch{1}{4}*t*x^3-\bruch{3}{2}*t*x^2+(2t+2)*x$ [/mm] (falls nicht, dann weise mich bitte darauf hin).
> Zeigen sie,dass die Schnittpunkte von K t und
> K 0 unabhänig von t sind
Hier sollst du also zeigen, dass sich alle Graphen der Funktionenschar in einem festen (=von $t$ unabhängigen Punkt) schneiden.
Dies zeigt man am geschicktesten mit folgender Logik:
Man wählt eine beliebige Funktion [mm] $f_{t_1}$ [/mm] (das ist [mm] $f_t$ [/mm] zum Parameter [mm] $t_1$) [/mm] der Funktionenschar und berechnet ihren Schnittpunkt mit [mm] $f_0$. [/mm] Enthält dieser Schnittpunkt keinen Parameter, so ist die Behauptung gezeigt, denn [mm] $f_{t_1}$ [/mm] war beliebig gewählt, d.h., alle Funktionen schneiden sich im selben Punkt mit [mm] $f_0$.
[/mm]
Formal:
Sei [mm] $t_1$ [/mm] beliebig gewählt, aber [mm] $t_0\neq0$ [/mm] (sonst wäre es ja [mm] $f_0$)
[/mm]
Schnittansatz:
[mm] $f_{t_1}(x)=f_0(x)$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{1}{4}*t_1*x^3-\bruch{3}{2}*t_1*x^2+(2t_1+2)*x=\bruch{1}{4}*0*x^3-\bruch{3}{2}*0*x^2+(2*0+2)*x$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{1}{4}*t_1*x^3-\bruch{3}{2}*t_1*x^2+(2t_1+2)*x=2x$
[/mm]
Nun versuche doch mal, diese Gleichung noch ein wenig zu vereinfachen und vielleicht sogar nach $x$ aufzulösen.
Tipp: Ausklammern, der Term innerhalb der Klammern ist dann ein quadratischer Term...
Probier' es jetzt doch mal selbst und melde dich mit deinen Versuchen/Ergebnissen/Fragen
Bis gleich,
Marc
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Hallo Sabrina und alle anderen,
wenn Ihr solche Aufgabentypen habt müsst Ihr immer mit Gleichsetzen ans Werk gehen.
Genau das selbe ist es, wenn man eine Schar hat und als Aufgabenstellung da steht:
Zeigen Sie, dass alle Kurven der Schar einen gemeinsamen von der Variable (z.B. t oder a usw.) unabhängigen gemeinsamen Punkt haben
Dann muss man halt einfach
fa1(x) = fa2(x) vorausgesetzt a ist meine Variable.
Das läuft immer auf das selbe hinnaus und natürlich muss man dann irgendwo kürzen, ausklammern oder es fällt von selbst weg.
Wollte das nur noch kurz erwähnen.
MfG DerMathematiker
PS: Sabine hast du die Aufgabe schon gelöst bekommen? Wenn ja, dann schreib mal deinen von Marc angefangenen Ansatz weiter.
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