Analysis nicht vertieft < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Sa 11.08.2007 | | Autor: | Kasper |
| Aufgabe | [mm]g:\IR^2\rightarrow \IR[/mm] stet. part. diffbar, [mm]f:I\rightarrow \IR[/mm] diffbar auf [mm]I\subset \IR[/mm], $I$offen
a) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion
[mm]h:I\rightarrow \IR.\qquad h(x):=g(x,f(x)).[/mm] |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Hallo, ich sitze hier mit einer Staatsexamensaufgabe nicht vertieft von Herbst 2006, Thema 1, Aufgabe 4 und weiss gar nicht wie das überhaupt gehen soll:
Ich habe dann mal beim Forster II aufgeschlagen (Implizite Funktionen), aber verstehen tue ich das trotzdem nicht. Soll ich jetzt partielle Ableitungen nach dem Motto $ g(x,y) $ berechnen, oder soll $ g'(x,f(x))*f'(x) $ ala Kettenregel schon alles gewesen sein?
Vielen Dank für die Entwirrung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Sa 11.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Kasper
Was stellt denn bei dir g' dar, g geht doch von [mm] \IR^2 [/mm] nach [mm] \IR
[/mm]
was stellst du dir dabei unter g' vor?
nimm doch einfach mal ne einfaches [mm] g=x^2+y^3 [/mm] was ist g'
Dann kannst du deine Frage sicher selbst beantworten.
Sonst frag noch mal.
(Wenn was unklar ist, versuch es immer erstmal mit konkreten Beispielen!)
Gruss leduart
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Rein formal geht das wie im Eindimensionalen: Kettenregel. Du mußt dazu nur wissen, daß man unter der Ableitung einer auf einer offenen Menge [mm]U \subseteq \mathbb{R}^n[/mm] differenzierbaren Funktion [mm]f: \ U \to \mathbb{R}^m[/mm] die [mm]m \times n[/mm] -Matrix
[mm]f'(x) = \left( \frac{\partial f_i }{\partial x_j}(x) \right)[/mm]
versteht. Ihre Zeilen sind gerade die Gradienten der Komponentenfunktionen [mm]f_1, \ldots, f_m[/mm] von [mm]f[/mm]. Die [mm]i[/mm]-te Zeile der Matrix ist also
[mm]\left( \frac{\partial f_i}{\partial x_1} , \ldots , \frac{\partial f_i}{\partial x_n} \right)[/mm]
wobei natürlich [mm]x_1 , \ldots , x_n[/mm] die Koordinaten von [mm]x[/mm] bezeichnen sollen.
Ist die Verkettung [mm]g \circ \varphi[/mm] zweier Funktionen [mm]g, \varphi[/mm] möglich, so lautet unter geeigneten Differenzierbarkeitsvoraussetzungen die Kettenregel
[mm]\left( g \circ \varphi \right)'(x) = g' \left( \varphi(x) \right) \cdot \varphi'(x)[/mm]
Rein äußerlich sieht das wie gewohnt aus. Nur bedeutet hier der Malpunkt die Matrizenmultiplikation.
Jetzt konkret zu deiner Aufgabe. Hier ist
[mm]\varphi(t) = \begin{pmatrix} t \\ f(t) \end{pmatrix}[/mm] , also [mm]\varphi_1(t) = t \, , \ \ \varphi_2(t) = f(t)[/mm]
Was ist also [mm]\varphi'(t)[/mm] ? Und was ist [mm]g'(x,y)[/mm] ?
Wenn du diese Matrizen hast, mußt du noch [mm]g' \left( \varphi(t) \right)[/mm] bestimmen und die beiden Matrizen wie oben angegeben miteinander multiplizieren. Da die Verkettung hier insgesamt eine gewöhnliche eindimensionale reelle Funktion darstellt, muß auch die Ableitung eine skalare Funktion sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Sa 11.08.2007 | | Autor: | Kasper |
Ich glaube mir war die Art der Verkettung unklar/neu $ [mm] R\rightarrow R^2\rightarrow [/mm] R $.
Ich versuch's also mal: mein $ h(x)=g(x,f(x)) $ schreibe ich also erst mal als $ [mm] g(\varphi(x)) [/mm] $ mit $ [mm] \varphi=\vektor{x\\f(x)} [/mm] $ und dann (Strich ist die Ableitung nach dem Argument)
[mm] $h'(x)=g'(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)=(\partial_xg,\partial_{f(x)}g)\cdot\vektor{x'\\f'(x)}=\partial_xg\cdot1+\partial_{f(x)}g\cdot [/mm] f'(x)$
Ist das jetzt so richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Sa 11.08.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ja das ist richtig.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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Im Gegensatz zu Hund bin ich nicht der Ansicht, daß deine Lösung stimmt. Das [mm]x[/mm] oder [mm]y[/mm] bei [mm]\partial_x[/mm] bzw. [mm]\partial_y[/mm] ist doch nur ein Symbol, um anzugeben, daß nach der ersten bzw. zweiten Variablen zu differenzieren ist. Da darf man doch nichts dafür einsetzen. Das ist ja genauso, als würdest du für den Strich beim Ableiten etwas einsetzen!
[mm]f(x) = x^2[/mm]
[mm]f'(x) = 2x[/mm]
Und mit [mm]' = 93[/mm] folgte dann: [mm]f^{93}(x) = 2 x[/mm] ???
Ich hoffe, mit diesem abstrusen Beispiel wird dir die Absurdität des Vorgehens klar. Vielleicht solltest du vorübergehend einmal [mm]\partial_1[/mm] statt [mm]\partial_x[/mm] und [mm]\partial_2[/mm] statt [mm]\partial_y[/mm] schreiben. Das ist so zwar nicht üblich, hilft dir aber im Moment vielleicht beim Verständnis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Sa 11.08.2007 | | Autor: | Kasper |
Hallo Leopold_Gast,
ich dachte immer [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] und [mm] $\partial_x x^2=2x=f'(x)$. [/mm] Und ich setze ja auch nichts ein, sondern ich gebe im Index (genau wie du, nur anders )die Variable nach der ich differenziere an, im Prinzip als
Kurzschrift für [mm] $\frac{\partial}{\partial t}=\partial_t$.
[/mm]
Aber an der Lösung von oben wäre sonst nichts mehr auszusetzen, oder?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Sa 11.08.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ja das Ergebnisist richtig, nur die Schreibweise ist nicht so elegant, weil man sich sonstvertuen kann, aber du hast ja das richtige gemeint.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Sa 11.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Kasper
Das was du meinst ist richtig, das was du schreibst entspricht so wenig den üblichen math. Schreibweisen, dass es eigentlich beinahe falsch ist.
Man kann [mm] g_x [/mm] schreiben, oder [mm] \bruch{\partialg}{\partialx}
[/mm]
und x' verwendet man nur, wenn x ne fkt von was ist, also etwa x(s)
wo du x'schreibst steht einfach 1 sonst musst du h(x)=x und dann h' schreiben.
Aber klar ist, dass dus richtig meinst nur ob sowas in ner Klausur wohlwollend angenommen wird, und das bei nem Lehrer?!
Gruss leduart
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