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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Mi 19.03.2008 | | Autor: | eva_sp |
| Aufgabe | 1. Gegeben sind die Ebenen [mm] E_{1}: \vec{r}=\vektor{8 \\ 0 \\ 0}+\lambda\vektor{0 \\ 3 \\ 0}+\mu\vektor{4 \\ 0 \\ -3} [/mm] und [mm] E_{2}: \vec{r}=\vektor{9 \\ 3 \\ -3}+\delta\vektor{5 \\ 1 \\ -2}+\nu\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
a) Welchen Abstand haben die beiden Ebenen vom Ursprung?
b) Zeigen Sie, dass die Ebenen nicht parallel zueinander sind und bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden!
c) Unter welchem Winkel schneiden sich die Ebenen?
d) Welchen Abstand hat der Punkt A (0/0/6) von der Schnittgeraden der beiden Ebenen?
2. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (8/0/0), B (8/3/0), C (0/0/6) und [mm] D_{t} [/mm] (4t+5/3/-3t) (t reell) gegeben.
a) Zeigen Sie, dass die Punkte [mm] D_{t} [/mm] auf einer Geraden g liegen, wenn t all reellen Zahlen durchläuft, und bestimmen Sie die Gerade g!
b) Bestimmen Sie die Gleichung derjenigen Ebene E in Parameter- und Normalenform, die die Punkte A und B enthält und zur Geraden g: [mm] \vec{r}=\vektor{5 \\ 3 \\ 0}+\lambda\vektor{4 \\ 0 \\ -3} [/mm] parallel ist!
c) Zeigen Sie, dass der Punkt C auf der Ebene E (Aufg. 2b) liegt!
d) Für welche Werte t hat das Dreieck [mm] ABD_{t} [/mm] einen rechten Winkel?
e) Für welche Werte t ist das Dreieck [mm] ABD_{t} [/mm] gleichschenklig?
3. a) Wie groß ist der Abstand der Punkte [mm] D_{t} [/mm] von der Ebene ABC?
b) Berechnen Sie die Oberfläche der Pyramide [mm] ABCD_{t}! [/mm] |
Hallo, die o.g. Aufgaben sind Prüfungsaufgaben für den Bereich Analytische Geometrie aus der Abiprüfung von 2006. Unser Lehrer hat sie uns zur Vorbereitung gegeben.
Ich habe versucht das ganze durchzurechnen und möchte euch bitten, mal zu kontrollieren, ob das so stimmt und wenn nicht, mir evtl. Denkanstöße zu geben. Wäre sehr nett, da wir im Moment Ferien haben und kaum eine Möglichkeit, die Lösungen überprüfen zu lassen! :)
Also dann fang ich mal ganz vorne an:
1.a) Erstmal habe ich die Ebenen in die Normalenform gebracht und komme zu:
[mm] E_{1}:\vektor{ -9 \\ 0 \\ -12}\vec{r} [/mm] + 72 = 0
[mm] E_{2}: \vektor{ 3 \\ -7 \\ 4}\vec{r} [/mm] + 6 = 0
So, nun jeweils in HNF gesetzt bekomme ich für [mm] E_{1} [/mm] den Abstand d = 4,8 und für [mm] E_{2} [/mm] den Abstand d = [mm] \bruch{6}{\wurzel{74}}
[/mm]
b) Hier habe ich das Determinantenverfahren angewendet und bekomme für die beiden Richtungsvektoren der Ebene [mm] E_{1} [/mm] mit jeweils den einzelnen Richtungsvektoren der Ebene [mm] E_{2} [/mm] jeweils ungleich 0 raus. Das bedeutet die Vektoren sind linear unabhängig und deswegen sind die beiden Ebenen nicht parallel.
Die Schnittgerade habe ich ebenfalls durch das Determinantenverfahren bestimmt und komme auf g: [mm] \vec{r}=\vektor{\bruch{108}{7} \\ \bruch{30}{7} \\ \bruch{-39}{7}}+\lambda\vektor{-4 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
c) Für den Schnittwinkel der beiden Ebenen habe ich 54,46°
d) Für den Abstand des Punktes von der Schnittgeradender beiden Ebenen habe ich zunächst eine Hilfsebene [mm] E_{h} [/mm] bestimmt:
[mm] E_{h}: \vektor{ -4 \\ 0 \\ 3}\vec{r} [/mm] - 18 = 0
dann die Gerade g mit der Ebene [mm] E_{h} [/mm] geschnitten und komme somit für
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{27}{7} [/mm] erhalten. Das in die Schnittgerade eingesetzt und bekomme den Schnittpunkt S [mm] (0/\bruch{30}{7}/6). [/mm] Der Abstand von Punkt A zum Schnittpunkt sind [mm] \bruch{30}{7}, [/mm] also ist das der Abstand des Punktes A von der Schnittgeraden, oder?
Mit der 2. Aufgabe hatte ich einige Probleme:
a) Ich habe einfach die Gerade g: [mm] \vec{r}=\vektor{ 4t+5 \\ 3 \\ -3t }+\lambda\vektor{3-4t \\ -3 \\ 3t} [/mm] bestimmt. Der Richtungsvektor ist in dem Fall [mm] \overrightarrow{AD}. [/mm] Stimmt das denn? Oder was genau wird hier verlangt?
b) Parameterform:
E: [mm] \vec{r}=\vektor{8 \\ 0 \\ 0}+\lambda\vektor{0 \\ 3 \\ 0}+\mu\vektor{-8 \\ 0 \\ 6}
[/mm]
Normalenform:
[mm] \vektor{ 3 \\ 0 \\ 4}\vec{r} [/mm] - 24 = 0
[mm] \vec{n_{E}} \perp [/mm] Richtungsvektor der Geraden g -> E [mm] \parallel [/mm] g
c) Einfach den Punkt C in die Normalenform gesetzt, die Gleichung 24-24 = 0 stimmt -> C [mm] \in [/mm] E
d) hier weiß ich leider überhaupt nicht wo und wie ich anfangen soll :(
e) siehe d)
3.
a) Die Ebene ABC in die HNF gebracht, die Variable t kürzt sich raus und der Abstand d = 1,8
b) hier komme ich leider auch nicht weiter
So das war jetzt einiges, wäre echt nett, wenn mir jemand helfen kann!!
Danke schonmal!!
LG Eva
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Hallo eva_sp,
> 1. Gegeben sind die Ebenen [mm]E_{1}: \vec{r}=\vektor{8 \\ 0 \\ 0}+\lambda\vektor{0 \\ 3 \\ 0}+\mu\vektor{4 \\ 0 \\ -3}[/mm]
> und [mm]E_{2}: \vec{r}=\vektor{9 \\ 3 \\ -3}+\delta\vektor{5 \\ 1 \\ -2}+\nu\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> a) Welchen Abstand haben die beiden Ebenen vom Ursprung?
> b) Zeigen Sie, dass die Ebenen nicht parallel zueinander
> sind und bestimmen Sie die Gleichung der Schnittgeraden!
> c) Unter welchem Winkel schneiden sich die Ebenen?
> d) Welchen Abstand hat der Punkt A (0/0/6) von der
> Schnittgeraden der beiden Ebenen?
>
> 2. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
> A (8/0/0), B (8/3/0), C (0/0/6) und [mm]D_{t}[/mm] (4t+5/3/-3t) (t
> reell) gegeben.
>
> a) Zeigen Sie, dass die Punkte [mm]D_{t}[/mm] auf einer Geraden g
> liegen, wenn t all reellen Zahlen durchläuft, und bestimmen
> Sie die Gerade g!
> b) Bestimmen Sie die Gleichung derjenigen Ebene E in
> Parameter- und Normalenform, die die Punkte A und B enthält
> und zur Geraden g: [mm]\vec{r}=\vektor{5 \\ 3 \\ 0}+\lambda\vektor{4 \\ 0 \\ -3}[/mm]
> parallel ist!
> c) Zeigen Sie, dass der Punkt C auf der Ebene E (Aufg. 2b)
> liegt!
> d) Für welche Werte t hat das Dreieck [mm]ABD_{t}[/mm] einen
> rechten Winkel?
> e) Für welche Werte t ist das Dreieck [mm]ABD_{t}[/mm]
> gleichschenklig?
>
> 3. a) Wie groß ist der Abstand der Punkte [mm]D_{t}[/mm] von der
> Ebene ABC?
> b) Berechnen Sie die Oberfläche der Pyramide
> [mm]ABCD_{t}![/mm]
> Hallo, die o.g. Aufgaben sind Prüfungsaufgaben für den
> Bereich Analytische Geometrie aus der Abiprüfung von 2006.
> Unser Lehrer hat sie uns zur Vorbereitung gegeben.
>
> Ich habe versucht das ganze durchzurechnen und möchte euch
> bitten, mal zu kontrollieren, ob das so stimmt und wenn
> nicht, mir evtl. Denkanstöße zu geben. Wäre sehr nett, da
> wir im Moment Ferien haben und kaum eine Möglichkeit, die
> Lösungen überprüfen zu lassen! :)
>
> Also dann fang ich mal ganz vorne an:
>
> 1.a) Erstmal habe ich die Ebenen in die Normalenform
> gebracht und komme zu:
> [mm]E_{1}:\vektor{ -9 \\ 0 \\ -12}\vec{r}[/mm] + 72 = 0
> [mm]E_{2}: \vektor{ 3 \\ -7 \\ 4}\vec{r}[/mm] + 6 = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> So, nun jeweils in HNF gesetzt bekomme ich für [mm]E_{1}[/mm] den
> Abstand d = 4,8 und für [mm]E_{2}[/mm] den Abstand d =
> [mm]\bruch{6}{\wurzel{74}}[/mm]
>
> b) Hier habe ich das Determinantenverfahren angewendet und
> bekomme für die beiden Richtungsvektoren der Ebene [mm]E_{1}[/mm]
> mit jeweils den einzelnen Richtungsvektoren der Ebene [mm]E_{2}[/mm]
> jeweils ungleich 0 raus. Das bedeutet die Vektoren sind
> linear unabhängig und deswegen sind die beiden Ebenen nicht
> parallel.
Mit Hilfe der Normalenvektoren läßt sich das auch feststellen.
> Die Schnittgerade habe ich ebenfalls durch das
> Determinantenverfahren bestimmt und komme auf g:
> [mm]\vec{r}=\vektor{\bruch{108}{7} \\ \bruch{30}{7} \\ \bruch{-39}{7}}+\lambda\vektor{-4 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
> c) Für den Schnittwinkel der beiden Ebenen habe ich 54,46°
>
> d) Für den Abstand des Punktes von der Schnittgeradender
> beiden Ebenen habe ich zunächst eine Hilfsebene [mm]E_{h}[/mm]
> bestimmt:
> [mm]E_{h}: \vektor{ -4 \\ 0 \\ 3}\vec{r}[/mm] - 18 = 0
> dann die Gerade g mit der Ebene [mm]E_{h}[/mm] geschnitten und
> komme somit für
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{27}{7}[/mm] erhalten. Das in die Schnittgerade
> eingesetzt und bekomme den Schnittpunkt S
> [mm](0/\bruch{30}{7}/6).[/mm] Der Abstand von Punkt A zum
> Schnittpunkt sind [mm]\bruch{30}{7},[/mm] also ist das der Abstand
> des Punktes A von der Schnittgeraden, oder?
Ja.
>
> Mit der 2. Aufgabe hatte ich einige Probleme:
>
> a) Ich habe einfach die Gerade g: [mm]\vec{r}=\vektor{ 4t+5 \\ 3 \\ -3t }+\lambda\vektor{3-4t \\ -3 \\ 3t}[/mm]
> bestimmt. Der Richtungsvektor ist in dem Fall
> [mm]\overrightarrow{AD}.[/mm] Stimmt das denn? Oder was genau wird
> hier verlangt?
Teile den Vektor [mm][mm] \overrightarrow{OD_{t}} [/mm] in einen Stütz- und einen Richtungsvektor auf.
[mm]\overrightarrow{OD_{t}}=\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}[/mm]
>
> b) Parameterform:
> E: [mm]\vec{r}=\vektor{8 \\ 0 \\ 0}+\lambda\vektor{0 \\ 3 \\ 0}+\mu\vektor{-8 \\ 0 \\ 6}[/mm]
Das stimmt leider nicht ganz.
Wenn einen Ebene parallel zu einer Geraden sein soll, dann ist zwangsweise der Richtungsvektor der Geraden auch ein Richtungsvektor der Ebene.
Demnach stimmt der rot unterlegte Vektor nicht.
[mm]E: \overrightarrow{r}=\vektor{8 \\ 0 \\ 0}+\lambda\vektor{0 \\ 3 \\ 0}+\mu\red{\vektor{\-8 \\ 0 \\ 6}}[/mm]
>
> Normalenform:
> [mm]\vektor{ 3 \\ 0 \\ 4}\vec{r}[/mm] - 24 = 0
>
> [mm]\vec{n_{E}} \perp[/mm] Richtungsvektor der Geraden g -> E
> [mm]\parallel[/mm] g
>
> c) Einfach den Punkt C in die Normalenform gesetzt, die
> Gleichung 24-24 = 0 stimmt -> C [mm]\in[/mm] E
>
> d) hier weiß ich leider überhaupt nicht wo und wie ich
> anfangen soll :(
Nun ja, da das Dreieck einen rechten Winkel aufweisen, gilt [mm]\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BD_{t}}[/mm], d.h.
[mm]\overrightarrow{AB}\* \overrightarrow{BD_{t}}=0[/mm]
>
> e) siehe d)
Da das Dreieeck gleichschenklig sein soll, gilt:
[mm]\vmat{\overrightarrow{AD_{t}}}=\vmat{\overrightarrow{BD_{t}}}[/mm]
>
> 3.
> a) Die Ebene ABC in die HNF gebracht, die Variable t kürzt
> sich raus und der Abstand d = 1,8
Stimmt.
> b) hier komme ich leider auch nicht weiter
Die Oberfläche einer Pyramide ergibt sich nach Pyramide.
>
>
> So das war jetzt einiges, wäre echt nett, wenn mir jemand
> helfen kann!!
>
> Danke schonmal!!
>
> LG Eva
gruß
mathepower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mi 19.03.2008 | | Autor: | eva_sp |
Hallo mathepower! Erst mal vielen Dank für deine Mühe! :) Echt lieb von dir!!
> > b) Hier habe ich das Determinantenverfahren angewendet und
> > bekomme für die beiden Richtungsvektoren der Ebene [mm]E_{1}[/mm]
> > mit jeweils den einzelnen Richtungsvektoren der Ebene [mm]E_{2}[/mm]
> > jeweils ungleich 0 raus. Das bedeutet die Vektoren sind
> > linear unabhängig und deswegen sind die beiden Ebenen nicht
> > parallel.
>
> Mit Hilfe der Normalenvektoren läßt sich das auch
> feststellen.
Das heißt, wenn das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren nicht null ist, sind die Ebenen nicht parallel?
> >
> > Mit der 2. Aufgabe hatte ich einige Probleme:
> >
> > a) Ich habe einfach die Gerade g: [mm]\vec{r}=\vektor{ 4t+5 \\ 3 \\ -3t }+\lambda\vektor{3-4t \\ -3 \\ 3t}[/mm]
> > bestimmt. Der Richtungsvektor ist in dem Fall
> > [mm]\overrightarrow{AD}.[/mm] Stimmt das denn? Oder was genau wird
> > hier verlangt?
>
> Teile den Vektor [mm][mm]\overrightarrow{OD_{t}}[/mm] in einen Stütz- und einen Richtungsvektor auf.
[mm]\overrightarrow{OD_{t}}=\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}[/mm]
also wäre die Gerade demnach [mm] \vec{r}=\vektor{5 \\ 3 \\ 0}+t\vektor{4 \\ 0 \\ -3} [/mm] ??? also t praktisch als [mm] \lambda [/mm] verwenden?
>
> b) Parameterform:
> E: [mm]\vec{r}=\vektor{8 \\ 0 \\ 0}+\lambda\vektor{0 \\ 3 \\ 0}+\mu\vektor{-8 \\ 0 \\ 6}[/mm]
Das stimmt leider nicht ganz.
Wenn einen Ebene parallel zu einer Geraden sein soll, dann ist zwangsweise der Richtungsvektor der Geraden auch ein Richtungsvektor der Ebene.
Demnach stimmt der rot unterlegte Vektor nicht.
E: [mm] \overrightarrow{r}=\vektor{8 \\ 0 \\ 0}+\lambda\vektor{0 \\ 3 \\ 0}+\mu\red{\vektor{\-8 \\ 0 \\ 6}}
[/mm]
Der Vektor [mm] \vektor{ -8 \\ 0 \\ 6} [/mm] ist doch aber der selbe Vektor wie der von der Gerade allerdings mit k = -1, dann müsste das doch stimmen oder?
> d) hier weiß ich leider überhaupt nicht wo und wie ich
> anfangen soll :(
Nun ja, da das Dreieck einen rechten Winkel aufweisen, gilt [mm]\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BD_{t}}[/mm], d.h.
[mm]\overrightarrow{AB}\* \overrightarrow{BD_{t}}=0[/mm]
das habe ich schon versucht, da bekomme ich dann:
[mm] \vektor{ 0 \\ 3 \\ 0} [/mm] * [mm] \vektor{ 4t-3 \\ 0 \\ 3t} [/mm] = 0
die beiden Vektoren multipliziert erhalte ich 0 = 0, aber kann es ja garnicht nach t auflösen?
>
> e) siehe d)
Da das Dreieeck gleichschenklig sein soll, gilt:
[mm]\vmat{\overrightarrow{AD_{t}}}=\vmat{\overrightarrow{BD_{t}}}[/mm]
hier bekomme ich auch eine komische Lösung und zwar:
(4t-3)² + 9 + 9t² = (4t-3)² + 9t², wenn ich das ausrechne, kürzen sich alle t's raus und ich kann wieder nicht nach t auflösen :(
>
> b) hier komme ich leider auch nicht weiter
Die Oberfläche einer Pyramide ergibt sich nach Pyramide.
Nach der Oberflächenformel von einer Pyramide habe ich es versucht, jedoch bekomme ich verschiedene Lösungen für die Grundfläche, je nachdem, ob ich für die Grundfläche A = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] d*h_{d} [/mm] oder
A = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] b*h_{b} [/mm] oder A = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] a*h_{a} [/mm] benutze. Was soll ich denn verwenden?
gruß
mathepower
vielen Dank nochmal!! LG Eva
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Hallo eva_sp,
> Hallo mathepower! Erst mal vielen Dank für deine Mühe! :)
![[verlegen]](/images/smileys/verlegen.gif "[verlegen]")
> Echt lieb von dir!!
>
> > > b) Hier habe ich das Determinantenverfahren angewendet und
> > > bekomme für die beiden Richtungsvektoren der Ebene [mm]E_{1}[/mm]
> > > mit jeweils den einzelnen Richtungsvektoren der Ebene [mm]E_{2}[/mm]
> > > jeweils ungleich 0 raus. Das bedeutet die Vektoren sind
> > > linear unabhängig und deswegen sind die beiden Ebenen nicht
> > > parallel.
> >
> > Mit Hilfe der Normalenvektoren läßt sich das auch
> > feststellen.
>
> Das heißt, wenn das Skalarprodukt der beiden
> Normalenvektoren nicht null ist, sind die Ebenen nicht
> parallel?
Nein. Wenn das Vektorprodukt der beiden Normalenvektoren nicht den Nullvektor ergibt, dann sind die Ebenen nicht parallel.
>
>
>
> > >
> > > Mit der 2. Aufgabe hatte ich einige Probleme:
> > >
> > > a) Ich habe einfach die Gerade g: [mm]\vec{r}=\vektor{ 4t+5 \\ 3 \\ -3t }+\lambda\vektor{3-4t \\ -3 \\ 3t}[/mm]
> > > bestimmt. Der Richtungsvektor ist in dem Fall
> > > [mm]\overrightarrow{AD}.[/mm] Stimmt das denn? Oder was genau wird
> > > hier verlangt?
> >
> > Teile den Vektor [mm][mm]\overrightarrow{OD_{t}}[/mm] in einen Stütz- und einen Richtungsvektor auf.
[mm]\overrightarrow{OD_{t}}=\overrightarrow{a}+t*\overrightarrow{b}[/mm]
also wäre die Gerade demnach [mm]\vec{r}=\vektor{5 \\ 3 \\ 0}+t\vektor{4 \\ 0 \\ -3}[/mm] ??? also t praktisch als [mm]\lambda[/mm] verwenden?
Ja.
Ob der Parameter jetzt [mm]t[/mm] oder [mm]\lambda[/mm] heißt, ist egal.
>
> b) Parameterform:
> E: [mm]\vec{r}=\vektor{8 \\ 0 \\ 0}+\lambda\vektor{0 \\ 3 \\ 0}+\mu\vektor{-8 \\ 0 \\ 6}[/mm]
Das stimmt leider nicht ganz.
Wenn einen Ebene parallel zu einer Geraden sein soll, dann ist zwangsweise der Richtungsvektor der Geraden auch ein Richtungsvektor der Ebene.
Demnach stimmt der rot unterlegte Vektor nicht.
E: [mm]\overrightarrow{r}=\vektor{8 \\ 0 \\ 0}+\lambda\vektor{0 \\ 3 \\ 0}+\mu\red{\vektor{\-8 \\ 0 \\ 6}}[/mm]
Der Vektor [mm]\vektor{ -8 \\ 0 \\ 6}[/mm] ist doch aber der selbe Vektor wie der von der Gerade allerdings mit k = -1, dann müsste das doch stimmen oder?
Bei genauerem Betrachten hast Du recht. Dieser Vektor ist ein Vielfaches des Richtungsvektors der Geraden.
> d) hier weiß ich leider überhaupt nicht wo und wie ich
> anfangen soll :(
Nun ja, da das Dreieck einen rechten Winkel aufweisen, gilt [mm]\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BD_{t}}[/mm], d.h.
[mm]\overrightarrow{AB}\* \overrightarrow{BD_{t}}=0[/mm]
das habe ich schon versucht, da bekomme ich dann:
[mm]\vektor{ 0 \\ 3 \\ 0}[/mm] * [mm]\vektor{ 4t-3 \\ 0 \\ 3t}[/mm] = 0
die beiden Vektoren multipliziert erhalte ich 0 = 0, aber kann es ja garnicht nach t auflösen?
Berechne hier:
[mm]\overrightarrow{AD_{t}}\* \overrightarrow{D_{t}B}=0[/mm]
>
> e) siehe d)
Da das Dreieeck gleichschenklig sein soll, gilt:
[mm]\vmat{\overrightarrow{AD_{t}}}=\vmat{\overrightarrow{BD_{t}}}[/mm]
hier bekomme ich auch eine komische Lösung und zwar:
(4t-3)² + 9 + 9t² = (4t-3)² + 9t², wenn ich das ausrechne, kürzen sich alle t's raus und ich kann wieder nicht nach t auflösen :(
Nach einigem ausprobieren, gibt es für die Gleichung
[mm]\vmat{\overrightarrow{BD_{t}}}=\vmat{\overrightarrow{AB}}[/mm]
Lösungen
Demnach muß B die Spitze des Dreiecks sein.
>
> b) hier komme ich leider auch nicht weiter
Die Oberfläche einer Pyramide ergibt sich nach Pyramide.
Nach der Oberflächenformel von einer Pyramide habe ich es versucht, jedoch bekomme ich verschiedene Lösungen für die Grundfläche, je nachdem, ob ich für die Grundfläche A = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]d*h_{d}[/mm] oder
A = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]b*h_{b}[/mm] oder A = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]a*h_{a}[/mm] benutze. Was soll ich denn verwenden?
Es scheint ja so zu sein, daß die Grundfläche dieser Pyramide ein Viereck ist.
gruß
mathepower
vielen Dank nochmal!! LG Eva
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mi 19.03.2008 | | Autor: | eva_sp |
Hi nochmal und nochmal dankeschön :)
> Hallo eva_sp,
>
> d) hier weiß ich leider überhaupt nicht wo und wie ich
> anfangen soll :(
Nun ja, da das Dreieck einen rechten Winkel aufweisen, gilt [mm]\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BD_{t}}[/mm], d.h.
[mm]\overrightarrow{AB}\* \overrightarrow{BD_{t}}=0[/mm]
das habe ich schon versucht, da bekomme ich dann:
[mm]\vektor{ 0 \\ 3 \\ 0}[/mm] * [mm]\vektor{ 4t-3 \\ 0 \\ 3t}[/mm] = 0
die beiden Vektoren multipliziert erhalte ich 0 = 0, aber kann es ja garnicht nach t auflösen?
Vielleicht gibt es ja wirklich kein t für das das Dreieck [mm]ABD_{t}[/mm] rechtwinklig ist.
hmm.. hast du was rausbekommen?
>
> e) siehe d)
Da das Dreieeck gleichschenklig sein soll, gilt:
[mm]\vmat{\overrightarrow{AD_{t}}}=\vmat{\overrightarrow{BD_{t}}}[/mm]
hier bekomme ich auch eine komische Lösung und zwar:
(4t-3)² + 9 + 9t² = (4t-3)² + 9t², wenn ich das ausrechne, kürzen sich alle t's raus und ich kann wieder nicht nach t auflösen :(
Na ja, da Du keinen Wert für t erhältst, scheint das für alle t zu gelten.
wenn du so was sagst, heißt das, du hast es durchgerechnet und kommst aufs gleiche Ergebnis wie ich? ;)
>
> b) hier komme ich leider auch nicht weiter
Die Oberfläche einer Pyramide ergibt sich nach Pyramide.
Nach der Oberflächenformel von einer Pyramide habe ich es versucht, jedoch bekomme ich verschiedene Lösungen für die Grundfläche, je nachdem, ob ich für die Grundfläche A = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]d*h_{d}[/mm] oder
A = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]b*h_{b}[/mm] oder A = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]a*h_{a}[/mm] benutze. Was soll ich denn verwenden?
Es scheint ja so zu sein, daß die Grundfläche dieser Pyramide ein Viereck ist.
Als Grundfläche habe ich doch das Dreieck ABD oder? habe ja nur 4 Punkte gegeben, bei nem Vierflach hätte ich doch 5 Punkte oder nicht?
danke danke danke! :) LG Eva
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Hallo eva_sp.
> Hi nochmal und nochmal dankeschön :)
>
> > Hallo eva_sp,
> >
> > d) hier weiß ich leider überhaupt nicht wo und wie ich
> > anfangen soll :(
>
> Nun ja, da das Dreieck einen rechten Winkel aufweisen, gilt
> [mm]\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BD_{t}}[/mm], d.h.
>
> [mm]\overrightarrow{AB}\* \overrightarrow{BD_{t}}=0[/mm]
>
> das habe ich schon versucht, da bekomme ich dann:
> [mm]\vektor{ 0 \\ 3 \\ 0}[/mm] * [mm]\vektor{ 4t-3 \\ 0 \\ 3t}[/mm] = 0
> die beiden Vektoren multipliziert erhalte ich 0 = 0,
> aber kann es ja garnicht nach t auflösen?
>
> Vielleicht gibt es ja wirklich kein t für das das Dreieck
> [mm]ABD_{t}[/mm] rechtwinklig ist.
>
> hmm.. hast du was rausbekommen?
Hier müssen die Lösungen der Gleichungen
[mm]\overrightarrow{AD_{t}}\* \overrightarrow{D_{t}B}=0[/mm]
[mm]\overrightarrow{AB}\* \overrightarrow{D_{t}B}=0[/mm]
[mm]\overrightarrow{AB}\* \overrightarrow{D_{t}A}=0[/mm]
ermittelt werden.
>
> >
> > e) siehe d)
>
> Da das Dreieeck gleichschenklig sein soll, gilt:
>
> [mm]\vmat{\overrightarrow{AD_{t}}}=\vmat{\overrightarrow{BD_{t}}}[/mm]
>
> hier bekomme ich auch eine komische Lösung und zwar:
>
> (4t-3)² + 9 + 9t² = (4t-3)² + 9t², wenn ich das ausrechne,
> kürzen sich alle t's raus und ich kann wieder nicht nach t
> auflösen :(
>
> Na ja, da Du keinen Wert für t erhältst, scheint das für
> alle t zu gelten.
>
> wenn du so was sagst, heißt das, du hast es durchgerechnet
> und kommst aufs gleiche Ergebnis wie ich? ;)
>
Hier müssen die Lösungen der Gleichungen
[mm]\vmat{\overrightarrow{BD_{t}}}=\vmat{\overrightarrow{AB}}[/mm]
[mm]\vmat{\overrightarrow{AD_{t}}}=\vmat{\overrightarrow{AB}}[/mm]
[mm]\vmat{\overrightarrow{AD_{t}}}=\vmat{\overrightarrow{BD_{t}}}[/mm]
ermittelt werden.
> >
> > b) hier komme ich leider auch nicht weiter
>
> Die Oberfläche einer Pyramide ergibt sich nach
> Pyramide.
>
> Nach der Oberflächenformel von einer Pyramide habe ich es
> versucht, jedoch bekomme ich verschiedene Lösungen für die
> Grundfläche, je nachdem, ob ich für die Grundfläche A =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]d*h_{d}[/mm] oder
> A = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]b*h_{b}[/mm] oder A = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]a*h_{a}[/mm]
> benutze. Was soll ich denn verwenden?
>
> Es scheint ja so zu sein, daß die Grundfläche dieser
> Pyramide ein Viereck ist.
>
> Als Grundfläche habe ich doch das Dreieck ABD oder? habe ja
> nur 4 Punkte gegeben, bei nem Vierflach hätte ich doch 5
> Punkte oder nicht?
Ja.
Zur Oberfläche der Pyramide:
Die Pyramide wird von den Dreiecken [mm]ABC, \ ABD_{t}, \ ACD_{t}, \ BCD_{t}[/mm] begrenzt.
Demnach sind auch die Flächen dieser 4 Dreiecke zu berechnen.
Die Flächen der einzelnen Dreiecke kannst Du mit dem Vektorprodukt oder dem Skalarprodukt berechnen.
Die Berechnung mit dem Skalarprodukt erfordert mehr Aufwand, da hier noch die Höhe zu bestimmen ist, wobei deren Höhenvektor orthogonal zur jeweiligen Grundseite sein muss.
>
> danke danke danke! :) LG Eva
Gruß
MathePower
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