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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Fr 18.09.2009 | | Autor: | sunny9 |
Hallo,
ich sollte eine Aufgabe machen, die ich inzwischen gelöst habe. Ich bin mir aber nicht sicher, ob alles so wirklich stimmt. Es wäre sehr nett, wenn jemand sich das noch mal anschauen könnte. Eine besondere, weitere Schwierigkeit liegt darin, dass ich Manches gut begründen muss und ich glaube, das ist mir nicht gut beglückt, vielleicht kann mir dabei auch jemand helfen?
Die Aufgabe:
Drei Punkte sind gegeben: A(2/3/4), B(6/1/0), D(0/7/0)
a.) Zeigen, dass der Punkt C(4/5/-4) zu dem Quadrat ABCD fehlt.
Lösung: B + [mm] \vec [/mm] AD = [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix}
[/mm]
Aber ist es damit schon bewiesen?
b.) ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide, die regelmäßig ist. Höhe 6 LE. Zu Zeigen: [mm] T_1(7/8/2), T_2(-1/0/-2) [/mm] sind die beiden Pyramidenspitzen.
Lösung: Zwei Geraden aufgestellt für den Mittelpunkt der Grundfläche:
[mm] h:\vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -8 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] g:\vec x=\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Schnittpunkt der beiden Geraden: [mm] S\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Kugelgleichung damit aufgestellt: [mm] k:\begin{bmatrix} \vec x -\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{bmatrix}^2=36
[/mm]
Gerade aufgestellt, die durch den Mittelpunkt geht und orthogonal zur Ebene ABCD ist:
[mm] f:\vec [/mm] x= [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}+v \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
g in k eingesetzt: v=+/- 2
[mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}
[/mm]
Aber ist das gezeigt?
c.) zusätzliche Gerade gegeben: g: [mm] \vec [/mm] x [mm] =\begin{pmatrix} 3 \\ 10 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm] + r [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
Zu Zeigen: Pyramiden [mm] ABCDS_n [/mm] haben alle das gleiche Volumen. Spitzen [mm] S_n [/mm] sollen auf g liegen. Volumen bestimmen.
Lösung:
Ebene durch ABCD: [mm] E:2x_1+2x_2+x_3=14
[/mm]
Gerade g und Ebene sind parallel, deswegen haben Sie immer die gleiche Höhe.(reicht das als erklärung?):
[mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = 0
V= 1/3 G h = 2* 36 = 72
d.) quadratische Pyramide [mm] ABCDT_1, [/mm] es wird ein Zylinder eingeschoben (senkrecht zur Ebene ABCD stehend, alle vier Seitenwände berührend. Volumen kann errechnet werden mit Funktion: V(r)=6 π [mm] r^2 [/mm] - 2 π [mm] r^3 [/mm] (r = Grundflächenradius)
Aufgabe: Volumenformel herleiten, dann Radius Höhe, Volumen für Zylinder bestimmen mit dem größtmöglichen Volumen.
Lösung: Kreiszylinder: V=π [mm] r^2 [/mm] h h=6 bei uns
V=6 π [mm] r^2
[/mm]
Berechnung einer Seitengeraden des Grundquadrats:
[mm] \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}
[/mm]
= [mm] \wurzel{16+4+16}= [/mm] 6
das bedeutet: Grundflächenlänge = Höhe
Steigung der Seitengeraden von einem Punkt A,B,C,D zu [mm] T_1 [/mm] ist 2, also f(x)=2x
da der eingeschobene Zylinder nun zu hoch ist, muss noch π h [mm] r^2 [/mm] abgezogen werden. h = 2r.
(das ist meine Begründung, aber besonders gut ist sie nicht...)
Max. Volumen-> 1. Ableitung = 0
V'(r)=12πr - [mm] 6πr^2
[/mm]
0= [mm] r^2 [/mm] - 2r
[mm] r_1=2, r_2=0
[/mm]
2.Ableitung:
V''(r)= 12π - 12πr
V''(2)=-37,69
V''(0)=12π
bei 2 ist es der max. Volumen.
Volumen: V(2)=6 π [mm] (2)^2 [/mm] - 2 π [mm] (2)^3= [/mm] 25,13
Höhe: 2
So, das war's, ich hoffe es ist nicht zu viel geworden und etwas übersichtlich geblieben.
Vielen Dank schon mal.
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Hallo sunny9,
> Hallo,
> ich sollte eine Aufgabe machen, die ich inzwischen gelöst
> habe. Ich bin mir aber nicht sicher, ob alles so wirklich
> stimmt. Es wäre sehr nett, wenn jemand sich das noch mal
> anschauen könnte. Eine besondere, weitere Schwierigkeit
> liegt darin, dass ich Manches gut begründen muss und ich
> glaube, das ist mir nicht gut beglückt, vielleicht kann
> mir dabei auch jemand helfen?
>
> Die Aufgabe:
> Drei Punkte sind gegeben: A(2/3/4), B(6/1/0), D(0/7/0)
> a.) Zeigen, dass der Punkt C(4/5/-4) zu dem Quadrat ABCD
> fehlt.
>
> Lösung: B + [mm]\vec[/mm] AD = [mm]\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm]
> Aber ist es
> damit schon bewiesen?
Es ist damit gezeigt.
Nun, die Formel fällt nicht einfach so vom Himmel.
Um die Formel herzuleiten, beachte, wie die Punkte angeordnet sind:
Hier: D-C
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A-B
Daraus ergibt sich nun die genannte Formel.
>
> b.) ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide, die
> regelmäßig ist. Höhe 6 LE. Zu Zeigen: [mm]T_1(7/8/2), T_2(-1/0/-2)[/mm]
> sind die beiden Pyramidenspitzen.
>
> Lösung: Zwei Geraden aufgestellt für den Mittelpunkt der
> Grundfläche:
> [mm]h:\vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -8 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]g:\vec x=\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Schnittpunkt der beiden Geraden: [mm]S\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Kugelgleichung damit aufgestellt: [mm]k:\begin{bmatrix} \vec x -\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{bmatrix}^2=36[/mm]
>
> Gerade aufgestellt, die durch den Mittelpunkt geht und
> orthogonal zur Ebene ABCD ist:
> [mm]f:\vec[/mm] x= [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}+v \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> g in k eingesetzt: v=+/- 2
> [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Aber ist das gezeigt?
Das hast Du damit nachgewiesen.
>
> c.) zusätzliche Gerade gegeben: g: [mm]\vec[/mm] x [mm]=\begin{pmatrix} 3 \\ 10 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm]
> + r [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> Zu Zeigen:
> Pyramiden [mm]ABCDS_n[/mm] haben alle das gleiche Volumen. Spitzen
> [mm]S_n[/mm] sollen auf g liegen. Volumen bestimmen.
>
> Lösung:
> Ebene durch ABCD: [mm]E:2x_1+2x_2+x_3=14[/mm]
> Gerade g und Ebene sind parallel, deswegen haben Sie immer
> die gleiche Höhe.(reicht das als erklärung?):
> [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] *
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] = 0
> V= 1/3 G h = 2* 36 = 72
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> d.) quadratische Pyramide [mm]ABCDT_1,[/mm] es wird ein Zylinder
> eingeschoben (senkrecht zur Ebene ABCD stehend, alle vier
> Seitenwände berührend. Volumen kann errechnet werden mit
> Funktion: V(r)=6 π [mm]r^2[/mm] - 2 π [mm]r^3[/mm] (r =
> Grundflächenradius)
> Aufgabe: Volumenformel herleiten, dann Radius Höhe,
> Volumen für Zylinder bestimmen mit dem größtmöglichen
> Volumen.
>
> Lösung: Kreiszylinder: V=π [mm]r^2[/mm] h h=6 bei uns
> V=6 π [mm]r^2[/mm]
> Berechnung einer Seitengeraden des Grundquadrats:
> [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm]
> =
> [mm]\wurzel{16+4+16}=[/mm] 6
> das bedeutet: Grundflächenlänge = Höhe
> Steigung der Seitengeraden von einem Punkt A,B,C,D zu [mm]T_1[/mm]
> ist 2, also f(x)=2x
> da der eingeschobene Zylinder nun zu hoch ist, muss noch
> π h [mm]r^2[/mm] abgezogen werden. h = 2r.
> (das ist meine Begründung, aber besonders gut ist sie
> nicht...)
> Max. Volumen-> 1. Ableitung = 0
> V'(r)=12πr - [mm]6πr^2[/mm]
> 0= [mm]r^2[/mm] - 2r
> [mm]r_1=2, r_2=0[/mm]
> 2.Ableitung:
> V''(r)= 12π - 12πr
> V''(2)=-37,69
> V''(0)=12π
> bei 2 ist es der max. Volumen.
> Volumen: V(2)=6 π [mm](2)^2[/mm] - 2 π [mm](2)^3=[/mm] 25,13
> Höhe: 2
>
> So, das war's, ich hoffe es ist nicht zu viel geworden und
> etwas übersichtlich geblieben.
> Vielen Dank schon mal.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:37 Sa 19.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo sunny9,
>
> > Hallo,
> > ich sollte eine Aufgabe machen, die ich inzwischen
> gelöst
> > habe. Ich bin mir aber nicht sicher, ob alles so wirklich
> > stimmt. Es wäre sehr nett, wenn jemand sich das noch mal
> > anschauen könnte. Eine besondere, weitere Schwierigkeit
> > liegt darin, dass ich Manches gut begründen muss und ich
> > glaube, das ist mir nicht gut beglückt, vielleicht kann
> > mir dabei auch jemand helfen?
> >
> > Die Aufgabe:
> > Drei Punkte sind gegeben: A(2/3/4), B(6/1/0), D(0/7/0)
> > a.) Zeigen, dass der Punkt C(4/5/-4) zu dem Quadrat
> ABCD
> > fehlt.
> >
> > Lösung: B + [mm]\vec[/mm] AD = [mm]\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> > + [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm] =
> > [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm]
> > Aber ist
> es
> > damit schon bewiesen?
>
>
> Es ist damit gezeigt.
Einspruch!
So lange nicht feststeht, dass die drei gegebenen Punkte schon ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck bilden, ist noch gar nichts gezeigt.
Gruß Abakus
>
> Nun, die Formel fällt nicht einfach so vom Himmel.
>
> Um die Formel herzuleiten, beachte, wie die Punkte
> angeordnet sind:
>
> Hier: D-C
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> A-B
>
> Daraus ergibt sich nun die genannte Formel.
>
>
>
> >
> > b.) ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide, die
> > regelmäßig ist. Höhe 6 LE. Zu Zeigen: [mm]T_1(7/8/2), T_2(-1/0/-2)[/mm]
> > sind die beiden Pyramidenspitzen.
> >
> > Lösung: Zwei Geraden aufgestellt für den Mittelpunkt der
> > Grundfläche:
> > [mm]h:\vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -8 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > [mm]g:\vec x=\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > Schnittpunkt der beiden Geraden: [mm]S\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > Kugelgleichung damit aufgestellt: [mm]k:\begin{bmatrix} \vec x -\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{bmatrix}^2=36[/mm]
>
> >
> > Gerade aufgestellt, die durch den Mittelpunkt geht und
> > orthogonal zur Ebene ABCD ist:
> > [mm]f:\vec[/mm] x= [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}+v \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > g in k eingesetzt: v=+/- 2
> > [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> > = [mm]\begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> >
> > [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > Aber ist das gezeigt?
>
>
> Das hast Du damit nachgewiesen.
>
>
> >
> > c.) zusätzliche Gerade gegeben: g: [mm]\vec[/mm] x [mm]=\begin{pmatrix} 3 \\ 10 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm]
> > + r [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> > Zu
> Zeigen:
> > Pyramiden [mm]ABCDS_n[/mm] haben alle das gleiche Volumen. Spitzen
> > [mm]S_n[/mm] sollen auf g liegen. Volumen bestimmen.
> >
> > Lösung:
> > Ebene durch ABCD: [mm]E:2x_1+2x_2+x_3=14[/mm]
> > Gerade g und Ebene sind parallel, deswegen haben Sie
> immer
> > die gleiche Höhe.(reicht das als erklärung?):
> > [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] *
> > [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] = 0
> > V= 1/3 G h = 2* 36 = 72
>
>
>
>
>
> >
> > d.) quadratische Pyramide [mm]ABCDT_1,[/mm] es wird ein Zylinder
> > eingeschoben (senkrecht zur Ebene ABCD stehend, alle vier
> > Seitenwände berührend. Volumen kann errechnet werden mit
> > Funktion: V(r)=6 π [mm]r^2[/mm] - 2 π [mm]r^3[/mm] (r =
> > Grundflächenradius)
> > Aufgabe: Volumenformel herleiten, dann Radius Höhe,
> > Volumen für Zylinder bestimmen mit dem größtmöglichen
> > Volumen.
> >
> > Lösung: Kreiszylinder: V=π [mm]r^2[/mm] h h=6 bei uns
> > V=6 π [mm]r^2[/mm]
> > Berechnung einer Seitengeraden des Grundquadrats:
> > [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm]
> > =
> > [mm]\wurzel{16+4+16}=[/mm] 6
> > das bedeutet: Grundflächenlänge = Höhe
> > Steigung der Seitengeraden von einem Punkt A,B,C,D zu
> [mm]T_1[/mm]
> > ist 2, also f(x)=2x
> > da der eingeschobene Zylinder nun zu hoch ist, muss
> noch
> > π h [mm]r^2[/mm] abgezogen werden. h = 2r.
> > (das ist meine Begründung, aber besonders gut ist sie
> > nicht...)
> > Max. Volumen-> 1. Ableitung = 0
> > V'(r)=12πr - [mm]6πr^2[/mm]
> > 0= [mm]r^2[/mm] - 2r
> > [mm]r_1=2, r_2=0[/mm]
> > 2.Ableitung:
> > V''(r)= 12π - 12πr
> > V''(2)=-37,69
> > V''(0)=12π
> > bei 2 ist es der max. Volumen.
> > Volumen: V(2)=6 π [mm](2)^2[/mm] - 2 π [mm](2)^3=[/mm] 25,13
> > Höhe: 2
> >
> > So, das war's, ich hoffe es ist nicht zu viel geworden und
> > etwas übersichtlich geblieben.
> > Vielen Dank schon mal.
>
>
> Gruss
> MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Sa 19.09.2009 | | Autor: | sunny9 |
Vielen Dank für die Hilfe.
Viele Grüße
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> Hallo,
> ich sollte eine Aufgabe machen, die ich inzwischen gelöst
> d.) quadratische Pyramide [mm]ABCDT_1,[/mm] es wird ein Zylinder
> eingeschoben (senkrecht zur Ebene ABCD stehend, alle vier
> Seitenwände berührend. Volumen kann errechnet werden mit
> Funktion: $\ V(r)=6 [mm] \pi\,r^2- 2\pi\,r^3$ [/mm]
> (r = Grundflächenradius)
war das Resultat schon vorgegeben ?
> Aufgabe: Volumenformel herleiten, dann Radius Höhe,
> Volumen für Zylinder bestimmen mit dem größtmöglichen
> Volumen.
>
> Lösung: Kreiszylinder: $\ [mm] V=\pi\,r^2h$ [/mm] h=6 bei uns ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Pyramide hat die Höhe H=6 . Die Höhe h des
Zylinders, der in die Pyramide hinein passen soll,
ist kleiner !
> [mm] V=6\pi\,r^2 [/mm]
> Berechnung einer Seitengeraden des Grundquadrats:
> [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm]
> =
> [mm]\wurzel{16+4+16}=[/mm] 6
> das bedeutet: Grundflächenlänge = Höhe
> Steigung der Seitengeraden von einem Punkt A,B,C,D zu [mm]T_1[/mm]
> ist 2, also f(x)=2x ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> da der eingeschobene Zylinder nun zu hoch ist, muss noch
> [mm] $\pi\, h\,r^2$ [/mm] abgezogen werden. h = 2r.
> (das ist meine Begründung, aber besonders gut ist sie
> nicht...)
einverstanden ...
Um die Formel für das Zylindervolumen aufzustellen,
brauchst du
1.) die Formel $\ [mm] V=\pi\,r^2\,h$
[/mm]
2.) eine Gleichung, welche h durch r ausdrückt
Um eine solche zu bekommen, kannst du in einer
seitlichen Ansicht ähnliche Dreiecke und deren
Seitenverhältnisse betrachten.
> Max. Volumen-> 1. Ableitung = 0
> V'(r)=12πr - [mm]6πr^2[/mm]
> 0= [mm]r^2[/mm] - 2r
> [mm]r_1=2, r_2=0[/mm]
> 2.Ableitung:
> V''(r)= 12π - 12πr
> V''(2)=-37,69
> V''(0)=12π
> bei 2 ist es der max. Volumen.
> Volumen: V(2)=6 π [mm](2)^2[/mm] - 2 π [mm](2)^3=[/mm] 25,13
> Höhe: 2
Ich würde das maximale Volumen auch in der
Form [mm] V_{max}=V(2)=8\,\pi [/mm] angeben.
LG Al-Chw.
Bemerkung:
Nachträglich konnte ich deine obige "Herleitung" der
Zylindervolumenformel nachvollziehen. Um sie klar
rüberzubringen, müsstest du vor allem die benützten
Bezeichnungen deutlich erklären, etwa mit einer
Zeichnung.
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