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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 So 06.12.2015 | | Autor: | Teryosas |
| Aufgabe | Lösen Sie das folgende Anfangs-Randwertproblem für die Transportgleichung
[mm] 3\bruch{\partial u}{\partial x}(x,t) [/mm] + [mm] \bruch{\partial u}{\partial t}(x,t) [/mm] = 0 für x [mm] \ge [/mm] 0, t [mm] \ge [/mm] 0
u(0,t) = [mm] \bruch{1}{9t^2+a} [/mm] für t [mm] \ge [/mm] 0
u(x,0) = 1 für [mm] x\ge [/mm] 0 |
hey,
habe diese Aufgabe in der Hausübung und hab leider keine Beispielaufgabe aus letztem Jahr zu dieser Aufgabe...
Kann mir da evtl. jemand bitte nen Ansatz geben was ich zutun habe?
Ich vermute das da etwas rauskommen müsste in Form von: u(x,t) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} b_{n}sin(nx)e^{-4n^2t} [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 0 und t [mm] \ge [/mm] 0
Aber wüsste nicht wie ich dahin kommen sollte, sofern dies überhaupt richtig ist?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:34 Mo 07.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie das folgende Anfangs-Randwertproblem für die
> Transportgleichung
>
> [mm]3\bruch{\partial u}{\partial x}(x,t)[/mm] + [mm]\bruch{\partial u}{\partial t}(x,t)[/mm]
> = 0 für x [mm]\ge[/mm] 0, t [mm]\ge[/mm] 0
> u(0,t) = [mm]\bruch{1}{9t^2+a}[/mm] für t [mm]\ge[/mm] 0
> u(x,0) = 1 für [mm]x\ge[/mm] 0
> hey,
>
> habe diese Aufgabe in der Hausübung und hab leider keine
> Beispielaufgabe aus letztem Jahr zu dieser Aufgabe...
> Kann mir da evtl. jemand bitte nen Ansatz geben was ich
> zutun habe?
>
> Ich vermute das da etwas rauskommen müsste in Form von:
> u(x,t) = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} b_{n}sin(nx)e^{-4n^2t}[/mm]
> für x [mm]\ge[/mm] 0 und t [mm]\ge[/mm] 0
>
> Aber wüsste nicht wie ich dahin kommen sollte, sofern dies
> überhaupt richtig ist?
Es ist nicht richtig.
Zunächst einmal folgt aus u(0,t) = $ [mm] \bruch{1}{9t^2+a} [/mm] $ und u(x,0) = 1 mit x=t=0:
a=1.
Für festes x [mm] \ge [/mm] 0 und festes t [mm] \ge [/mm] 0 setze
f(s):=u(x+3s,t+s) (s [mm] \ge [/mm] -t und s [mm] \ge [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}x.
[/mm]
Zeige nun: f ist konstant.
Zeige damit:
u(x,t)=1 für x [mm] \ge [/mm] 3t und [mm] u(x,t)=\bruch{1}{(3t-x)^2+1} [/mm] für x [mm] \le [/mm] 3t.
FRED
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> LG
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