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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:54 Do 29.04.2010 | | Autor: | Hubert12 |
| Aufgabe | Und zwar soll man die Funktion f(x) = 3/8 sin (2x) - 1/8 sin (4x) in eine Fourierreihe entwickeln und die Lösung des Anfangsrandwertproblems bestimmen.
Weiters:
[mm] \bruch{\delta u)}{(\delta t} [/mm] = [mm] \bruch{\delta^2 u)}{(\delta x^2} [/mm] mit 0 < x < [mm] \pi, [/mm] t > 0
u(0,x) = [mm] \bruch{3}{8} [/mm] sin (2x) - [mm] \bruch{1}{8} [/mm] sin (4x)
u(t,0) = u(t,pi) = 0
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So weit so gut. Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
- Hab mir die spez. Lösung hergeleitet, die folgendermaßen aussehen sollte:
[mm] u_{n}(t,x) [/mm] = [mm] c_{n} [/mm] * [mm] e^{-(\bruch{n^2*\pi^2)}{L^2 }*t} [/mm] * sin [mm] \bruch{(n*\pi*x)}{L}
[/mm]
Superpositiosprinz.:
u(t,x) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} c_{n} [/mm] * [mm] e^{-(\bruch{n^2*\pi^2)}{L^2 }*t} [/mm] * sin [mm] \bruch{(n*\pi*x)}{L}
[/mm]
- Ok, die Koeffizienten [mm] c_{n} [/mm] bekomme ich, wenn ich mir die Anfangsbedingung ansehe:
Es soll geleten: u(0,x) = [mm] c_{n} [/mm] * [mm] e^{-(\bruch{n^2*\pi^2)}{L^2 }*t} [/mm] * sin [mm] \bruch{(n*\pi*x)}{L}
[/mm]
Das stimmt für die Koeffizienten n=2 (mit [mm] c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{8}) [/mm] und n=4 (mit [mm] c_{4} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{8})
[/mm]
- Die Fourierreihe hätte ich jetzt anhand der oben erhaltenen Koeffizienten ermittelt, indem ich die Glieder der erhaltenen Koeffizienten in die Lösung (siehe Superpositiosprinz. oben) einsetze. Daraus ergibt sich dann:
u(t,x) = [mm] \bruch{3}{8} [/mm] * [mm] e^{-(\bruch{4*\pi^2)}{L^2 }*t} [/mm] * sin [mm] \bruch{(2*\pi*x)}{L} [/mm] - [mm] \bruch{1}{8} [/mm] * [mm] e^{-(\bruch{16*\pi^2)}{L^2 }*t} [/mm] * sin [mm] \bruch{(4*\pi*x)}{L}
[/mm]
So, das wäre jetzt meine Fourierreihe. Die Frage die ich mir stelle ist nun allerdings, wie ich die Randbedingungen testen kann/muss. Dass die Anfangsbedingung erfüllt ist habe ich meiner Ansicht nach  ja schon oben gezeigt, als ich u(0,x) = f(x) gesetzt habe und daraus die Koeffizienten bestimmt habe. Wie kann ich allerdings zeigen, dass die Randbedingungen u(t,0) = u(t,pi) = 0 auch erfüllt sind?
Oder habe ich das schon dadurch gezeigt, dass ich spez. Lösung hergeleitet (ganz oben) hergeleitet habe?
Vielleicht kann mir ja bitte jemand weiterhelfen. Vor allem über ein paar erklärende Worte darüber wie man am besten so eine Randwertaufgabe angeht und was man wie am Besten zeigen kann, würden mir enorm helfen (wie man sieht bin ich darin eher ungeübt bzw. setz mich überhaupt zum ersten mal mit so einer Problemstellung auseinander). Vielen Dank!!
Lg
Hubert
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Anfangsrandw-Problem
bekomme aber leider keine Antwort :-(
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Hallo Hubert12,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Und zwar soll man die Funktion f(x) = 3/8 sin (2x) - 1/8
> sin (4x) in eine Fourierreihe entwickeln und die Lösung
> des Anfangsrandwertproblems bestimmen.
>
> Weiters:
> [mm]\bruch{\delta u)}{(\delta t}[/mm] = [mm]\bruch{\delta^2 u)}{(\delta x^2}[/mm]
> mit 0 < x < [mm]\pi,[/mm] t > 0
>
> u(0,x) = [mm]\bruch{3}{8}[/mm] sin (2x) - [mm]\bruch{1}{8}[/mm] sin (4x)
>
> u(t,0) = u(t,pi) = 0
>
> So weit so gut. Ich bin folgendermaßen vorgegangen:
> - Hab mir die spez. Lösung hergeleitet, die
> folgendermaßen aussehen sollte:
>
> [mm]u_{n}(t,x)[/mm] = [mm]c_{n}[/mm] * [mm]e^{-(\bruch{n^2*\pi^2)}{L^2 }*t}[/mm] * sin
> [mm]\bruch{(n*\pi*x)}{L}[/mm]
Diese Funktion erfüllt die Randbedingungen
[mm]u\left(t.0\right)=u\left(t,\pi \right)=0[/mm]
nicht.
Vielmehr muss diese lauten:
[mm]u_{n}(t,x) = c_{n} *e^{-n^{2}*t} * sin\left(n*x\right)[/mm]
>
> Superpositiosprinz.:
> u(t,x) = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} c_{n}[/mm] *
> [mm]e^{-(\bruch{n^2*\pi^2)}{L^2 }*t}[/mm] * sin
> [mm]\bruch{(n*\pi*x)}{L}[/mm]
>
> - Ok, die Koeffizienten [mm]c_{n}[/mm] bekomme ich, wenn ich mir die
> Anfangsbedingung ansehe:
> Es soll geleten: u(0,x) = [mm]c_{n}[/mm] *
> [mm]e^{-(\bruch{n^2*\pi^2)}{L^2 }*t}[/mm] * sin
> [mm]\bruch{(n*\pi*x)}{L}[/mm]
> Das stimmt für die Koeffizienten n=2 (mit [mm]c_{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{8})[/mm] und n=4 (mit [mm]c_{4}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{8})[/mm]
>
> - Die Fourierreihe hätte ich jetzt anhand der oben
> erhaltenen Koeffizienten ermittelt, indem ich die Glieder
> der erhaltenen Koeffizienten in die Lösung (siehe
> Superpositiosprinz. oben) einsetze. Daraus ergibt sich
> dann:
>
> u(t,x) = [mm]\bruch{3}{8}[/mm] * [mm]e^{-(\bruch{4*\pi^2)}{L^2 }*t}[/mm] *
> sin [mm]\bruch{(2*\pi*x)}{L}[/mm] - [mm]\bruch{1}{8}[/mm] *
> [mm]e^{-(\bruch{16*\pi^2)}{L^2 }*t}[/mm] * sin [mm]\bruch{(4*\pi*x)}{L}[/mm]
>
> So, das wäre jetzt meine Fourierreihe. Die Frage die ich
> mir stelle ist nun allerdings, wie ich die Randbedingungen
> testen kann/muss. Dass die Anfangsbedingung erfüllt ist
> habe ich meiner Ansicht nach ja schon oben gezeigt, als
> ich u(0,x) = f(x) gesetzt habe und daraus die Koeffizienten
> bestimmt habe. Wie kann ich allerdings zeigen, dass die
> Randbedingungen u(t,0) = u(t,pi) = 0 auch erfüllt sind?
> Oder habe ich das schon dadurch gezeigt, dass ich spez.
> Lösung hergeleitet (ganz oben) hergeleitet habe?
>
> Vielleicht kann mir ja bitte jemand weiterhelfen. Vor allem
> über ein paar erklärende Worte darüber wie man am besten
> so eine Randwertaufgabe angeht und was man wie am Besten
> zeigen kann, würden mir enorm helfen (wie man sieht bin
> ich darin eher ungeübt bzw. setz mich überhaupt zum
> ersten mal mit so einer Problemstellung auseinander).
> Vielen Dank!!
>
> Lg
> Hubert
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.onlinemathe.de/forum/Anfangsrandw-Problem
>
> bekomme aber leider keine Antwort :-(
>
Gruss
MathePower
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