Anfangswert Problem, allg. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Mi 03.06.2009 | | Autor: | michime |
| Aufgabe | AWP, man löse:
x'''-x''+4x'-4x=0
mit den Anfagsbedingungen
a)
x(0)= 1
x'(0)= 1
x''(0)= 1
bzw.
b)
x(0)= 1
x'(0)= 0
x''(0)= -4
und Skizziere die gewonnenen lösung.
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Hallo alle zusammen,
wir hatten, da Feiertag, am Monatag kein Tutorium. Daher sind wir nun ein bischen auf dem Schlauch und kommen hier nicht weiter und sind für den einen oder anderen Ansatz sehr dankbar.
Uns ging schon vieles durch den Kopf (Variation der Konstanten) und haben es auf der Tafel ausprobiert aber weiter sind wir nun nicht gekommen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo michime,
> AWP, man löse:
> x'''-x''+4x'-4x=0
> mit den Anfagsbedingungen
> a)
> x(0)= 1
> x'(0)= 1
> x''(0)= 1
>
> bzw.
> b)
> x(0)= 1
> x'(0)= 0
> x''(0)= -4
>
> und Skizziere die gewonnenen lösung.
>
> Hallo alle zusammen,
> wir hatten, da Feiertag, am Monatag kein Tutorium. Daher
> sind wir nun ein bischen auf dem Schlauch und kommen hier
> nicht weiter und sind für den einen oder anderen Ansatz
> sehr dankbar.
>
> Uns ging schon vieles durch den Kopf (Variation der
> Konstanten) und haben es auf der Tafel ausprobiert aber
> weiter sind wir nun nicht gekommen.
Bei einer solchen DGL macht man den Ansatz [mm]x\left(t\right)=e^{\lambda t}[/mm]
Durch Einsetzen dieses Ansatzes ergibt sich dann ein Polynom 3. Grades in [mm]\lambda[/mm]. Daraus ergeben sich dann die Lösungen dieser DGL.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Mi 03.06.2009 | | Autor: | michime |
ahja,
gut dann kommen wir wenn man das ersetzt auf:
x'''-x''+4x' + 4x = 0
[mm] =\lambda^3 [/mm] * [mm] e^{\lambda * t} [/mm] - [mm] \lambda^2 [/mm] * [mm] e^{\lambda * t} [/mm] + 4 * [mm] e^{\lambda * t} [/mm] - 4 e [mm] ^{\lambda * t}
[/mm]
= [mm] (\lambda^3 [/mm] - [mm] \lambda^2 [/mm] + 4 [mm] \lambda [/mm] - 4 e) * [mm] e^{\lambda * t} [/mm] = 0
so und nun gleich Null? hm so sollte es sein oder? Das wird aber verdammt ekelig...oder übersehen wir hier was?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Mi 03.06.2009 | | Autor: | michime |
ah,es kommt da anscheind eine Nullstelle bei
[mm] \lambda^3-\lambda^2-4*\lambda [/mm] - 4 = 0
haben wir eine Gefunden bei: [mm] (\lambda [/mm] - 1)
sind noch drann aber danke für die schnelle Antwort.
michi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Mi 03.06.2009 | | Autor: | michime |
Aber warum nur eine nullstelle bei:
haben wir eine Gefunden bei:
[mm] (\lambda [/mm] - 1)
?
Sollten das nicht 2 sein oder gibt es da was Komplexes?
michi
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Hallo michime,
> Aber warum nur eine nullstelle bei:
>
> haben wir eine Gefunden bei:
>
> [mm](\lambda[/mm] - 1)
>
> ?
> Sollten das nicht 2 sein oder gibt es da was Komplexes?
Ja, eine reelle und zwei komplexe Nullstellen.
>
> michi
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Mi 03.06.2009 | | Autor: | michime |
Ja wir haben alle ermittelt.
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 1
[mm] \lambda_{2} [/mm] = -2i
[mm] \lambda_{3} [/mm] = 2i
Num müssen wir das machen mit der Variation der Konstanten.
(Also eigentlich ne Rechnung nach Rezept)
Da gibt unseher Sammlung nun das her:
[mm] c_{1} [/mm] * [mm] y_{1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] c_{n} [/mm] * [mm] y_{n}= [/mm] y
Dies haben wir nun eingesetzt und dabei hat es uns mal wieder verlassen [mm] \ldots [/mm] wie ärgerlich.
Also:
für das [mm] y_{1} [/mm] haben wir gegeben das [mm] e^{\lambda_{1} * t}
[/mm]
usw.
Also kommen iwr da auf:
x = [mm] c_{1} [/mm] * [mm] e^{1 * t} [/mm] + [mm] c_{2} [/mm] * [mm] e^{-2i * t} [/mm] + [mm] c_{3} [/mm] * [mm] e^{2i * t}
[/mm]
Nach hin und her kommen iwr da wiederum auf:
[mm] c_{1} [/mm] = 1
[mm] c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] c_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Hm ist die überlegung so weit so gut
LG
michi
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Hallo michime,
> Ja wir haben alle ermittelt.
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = -2i
> [mm]\lambda_{3}[/mm] = 2i
>
> Num müssen wir das machen mit der Variation der
> Konstanten.
> (Also eigentlich ne Rechnung nach Rezept)
>
> Da gibt unseher Sammlung nun das her:
> [mm]c_{1}[/mm] * [mm]y_{1}[/mm] + [mm]\ldots[/mm] + [mm]c_{n}[/mm] * [mm]y_{n}=[/mm] y
>
> Dies haben wir nun eingesetzt und dabei hat es uns mal
> wieder verlassen [mm]\ldots[/mm] wie ärgerlich.
>
> Also:
> für das [mm]y_{1}[/mm] haben wir gegeben das [mm]e^{\lambda_{1} * t}[/mm]
>
> usw.
> Also kommen iwr da auf:
> x = [mm]c_{1}[/mm] * [mm]e^{1 * t}[/mm] + [mm]c_{2}[/mm] * [mm]e^{-2i * t}[/mm] + [mm]c_{3}[/mm] *
> [mm]e^{2i * t}[/mm]
>
> Nach hin und her kommen iwr da wiederum auf:
>
> [mm]c_{1}[/mm] = 1
> [mm]c_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]c_{3}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Hm ist die überlegung so weit so gut
Die Überlegung ist sogar sehr gut.
Um jetzt zu einer reellen Lösung zu kommen,
verwende die Eulersche Identität:
[mm]e^{i\lambda t}=\cos\left(\lambda t\right)+i*\sin\left(\lambda t\right)[/mm]
Allgemein ist es so, wenn das zugehörige Polynom einer linearen DGL mit konstanten Koeffizienten komplexe Lösungen [mm]\lambda=a\pm i*b[/mm] besitzt,
dann sind [mm]e^{at}*\cos\left(bt\right), \ e^{at}*\sin\left(bt\right)[/mm] reelle Lösungen der DGL.
>
> LG
> michi
>
Gruß
MathePower
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Hallo michime,
> ahja,
> gut dann kommen wir wenn man das ersetzt auf:
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> x'''-x''+4x' + 4x = 0
>
> [mm]=\lambda^3[/mm] * [mm]e^{\lambda * t}[/mm] - [mm]\lambda^2[/mm] * [mm]e^{\lambda * t}[/mm]
> + 4 * [mm]e^{\lambda * t}[/mm] - 4 e [mm]^{\lambda * t}[/mm]
>
> = [mm](\lambda^3[/mm] - [mm]\lambda^2[/mm] + 4 [mm]\lambda[/mm] - 4 e) * [mm]e^{\lambda * t}[/mm]
> = 0
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> so und nun gleich Null? hm so sollte es sein oder? Das wird
> aber verdammt ekelig...oder übersehen wir hier was?
Ja, Null setzen und nach [mm]\lambda[/mm] auflösen.
Diese Polynom kann doch in Faktoren aufgespalten werden.
Gruß
MathePower
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