Anfangswertaufgabe!? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 So 15.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
| Aufgabe | Lösen Sie die folgende Anfangswertaufgabe durch Variation der Konstanten:
xy´- y = [mm] x^{2} [/mm] * cos x , [mm] y(\pi) [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] |
Bitte um Hilfe bei diesem Beispiel! Komme damit nicht klar! Soll ich hier mal die Variablen separieren? y und x auf jeweils eine Seite bringen?
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Hallo Andi7987,
> Lösen Sie die folgende Anfangswertaufgabe durch Variation
> der Konstanten:
>
> xy´- y = [mm]x^{2}[/mm] * cos x , [mm]y(\pi)[/mm] = [mm]2\pi[/mm]
> Bitte um Hilfe bei diesem Beispiel! Komme damit nicht
> klar! Soll ich hier mal die Variablen separieren? y und x
> auf jeweils eine Seite bringen?
Löse zunächst die homogene DGL
[mm]x*y'-y=0[/mm]
Dann kannst Du mit Hilfe der Variation der Konstanten,
eine partikuläre Lösung der DGL
[mm]x*y'-y=x^{2}*\cos\left(x\right)[/mm]
bestimmen.
Dazu machst Du die Konstante in der
homogenen Lösung [mm]y_{h}[/mm] von x abhängig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 So 15.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Vielen lieben Dank für deine Anregungen!
Ok, das heisst ich gehe mal so vor:
x*y´- y = 0
x * [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] - y = 0
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{y}{x}
[/mm]
Bin ich so noch auf dem richtigen Weg?
Dann weiter:
dy * x = y * dx
[mm] \bruch{dy}{y} [/mm] = [mm] \bruch{dx}{x}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
ln |y| = ln |x| + c
Oder ?
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Hallo andi7987,
> Vielen lieben Dank für deine Anregungen!
>
> Ok, das heisst ich gehe mal so vor:
>
> x*y´- y = 0
>
> x * [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] - y = 0
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{y}{x}[/mm]
>
> Bin ich so noch auf dem richtigen Weg?
>
> Dann weiter:
>
> dy * x = y * dx
>
> [mm]\bruch{dy}{y}[/mm] = [mm]\bruch{dx}{x}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
>
> ln |y| = ln |x| + c
>
> Oder ?
Bis hierhin stimmt's. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 So 15.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Echt, danke für deine Hilfe!
Aber ich steh hier an! Weiß nicht, wie ich weitermachen soll?
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Hallo andi7987,
> Echt, danke für deine Hilfe!
>
> Aber ich steh hier an! Weiß nicht, wie ich weitermachen
> soll?
>
>
Nun, die Lösung der homogenen DGL ist [mm]y_{h}=C*x[/mm]
Um jetzt eine partikuläre Lösung der DGL zu bestimmen,
setze an mit
[mm]y_{p}=C\left(x\right)*x[/mm]
Dies setzt Du jetzt in die inhomogene DGL ein,
und erhältst eine DGL zur Bestimmung von C.
[mm]x*y_{p}'-y_{p}=x^{2}*\cos\left(x\right)[/mm]
Hast Du diese Lösung bestimmt, dann ist
[mm]y\left(x\right)=C*x+y_{p}\left(x\right)[/mm]
die Lösung dieser DGL.
Um jetzt das C bestimmen zu können,
setzt Du die Anfangsbedingungen ein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 So 15.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Danke für deine Hilfestellung, aber komm ich da nicht weiter!?
Was fange ich jetzt mit dem ln |y|, etc. an? Usw.! :-(
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Hallo andi7987,
> Danke für deine Hilfestellung, aber komm ich da nicht
> weiter!?
>
> Was fange ich jetzt mit dem ln |y|, etc. an? Usw.! :-(
Nun, aus
[mm]ln |y| = ln |x| + c [/mm]
folgt
[mm]y=C*x[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 So 15.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Danke für deine Hilfe!
Wie kommt man auf das?
Das aus ln|y| + c = ln|x| + c
das wird? y = c*x
Gibs dafür eine Erklärung?
Danke!
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> Danke für deine Hilfe!
>
> Wie kommt man auf das?
>
> Das aus ln|y| + c = ln|x| + c
[mm] ln|y|+c_1=ln|x|+c_2
[/mm]
[mm] \gdw ln|y|=ln|x|+(c_2-c_1)
[/mm]
[mm] \gdw ln|y|=ln|x|+c_3 [/mm] auf beiden seiten [mm] e^{..}
[/mm]
[mm] \gdw e^{ln|y|}=e^{ln|x|+c_3}=e^{ln|x|}*e^{c_3}
[/mm]
[mm] \gdw |y|=|x|*e^{c_3}
[/mm]
[mm] \gdw y=\pm x*e^{c_3}
[/mm]
[mm] \gdw y=x*c_4
[/mm]
aus [mm] \pm e^c [/mm] wurde quasi c gemacht (denn beide können alle werte annehmen)
>
> das wird? y = c*x
>
> Gibs dafür eine Erklärung?
>
> Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Mo 16.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Vielen Dank für die super Erklärung!
Und das Ergebnis mit y = +- x * c
Ist das jetzt bereits das Endergebnis oder muss man jetzt noch was weitermachen bzw. wenn ja, was?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Mo 16.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Bisher hast Du nur die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Mo 16.11.2009 | | Autor: | andi7987 |
Was muss ich hier dann noch weiter machen?
Könnt mir jemand so eine Art Schema zeigen, welche Teilschritte man jeweils beachten muss?
Das wär ein Hit!
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Mo 16.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Das hat Dir Mathepower geschrieben:
"Löse zunächst die homogene DGL
$ [mm] x\cdot{}y'-y=0 [/mm] $
Dann kannst Du mit Hilfe der Variation der Konstanten,
eine partikuläre Lösung der DGL
$ [mm] x\cdot{}y'-y=x^{2}\cdot{}\cos\left(x\right) [/mm] $
bestimmen.
Dazu machst Du die Konstante in der
homogenen Lösung $ [mm] y_{h} [/mm] $ von x abhängig."
FRED
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