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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Anfangswertaufgabe
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Anfangswertaufgabe: Hinweis wie es weiter geht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Di 20.07.2010
Autor: Cherrykiss

Aufgabe
Lösen sie das folgende Anfangswertproblem
[mm] x^2 [/mm] * y'(x) + x*y(x) = 1

(x [mm] \not= [/mm] 0); y(1) = 0:

ich kann mich erinnern, dass ich die Variablen immer auf eine Seite bringen muss und hab das gemacht:

[mm] \bruch{y(x)}{y'(x)}=\bruch{1-x^2}{x} [/mm]

aber was muss ich nun tun? Kann mir jemand sagen, was ich als nächstes tun muss zur Lösung dieser Aufgabe?


        
Bezug
Anfangswertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Di 20.07.2010
Autor: MathePower

Hallo Cherrykiss,

> Lösen sie das folgende Anfangswertproblem
>  [mm]x^2[/mm] * y'(x) + x*y(x) = 1
>  
> (x [mm]\not=[/mm] 0); y(1) = 0:
>  ich kann mich erinnern, dass ich die Variablen immer auf
> eine Seite bringen muss und hab das gemacht:
>  
> [mm]\bruch{y(x)}{y'(x)}=\bruch{1-x^2}{x}[/mm]
>  
> aber was muss ich nun tun? Kann mir jemand sagen, was ich
> als nächstes tun muss zur Lösung dieser Aufgabe?
>  


Hier musst Du zuerst die homogene DGL

[mm]x^2 * y'(x) + x*y(x)=0[/mm]

lösen, bevor Du Dich an die inhomogene DGL

[mm]x^2 * y'(x) + x*y(x) = 1[/mm]

machen kannst.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Anfangswertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Di 20.07.2010
Autor: Cherrykiss

ok dann würde ich  [mm] x^2 [/mm] * y'(x)+xy(x)=0 so umformen, dass dann das da steht: x= [mm] \bruch{-y(x)}{y'(x)} [/mm]

und was ist dann der nächste Schritt zur Lösung des DGL?

Bezug
                        
Bezug
Anfangswertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:22 Di 20.07.2010
Autor: MathePower

Hallo Cherrykiss,

> ok dann würde ich  [mm]x^2[/mm] * y'(x)+xy(x)=0 so umformen, dass
> dann das da steht: x= [mm]\bruch{-y(x)}{y'(x)}[/mm]
>  
> und was ist dann der nächste Schritt zur Lösung des DGL?


Nimm besser den Kehrwert:

[mm]- \bruch{y'}{y}=\bruch{1}{x}[/mm]

Jetzt ist [mm]y'=\bruch{dy}{dx}[/mm]

Das in die Gleichung eingesetzt ergibt:

[mm]-\bruch{1}{y} \ dy \ =\ \bruch{1}{x} \ dx[/mm]

Und jetzt kannst Du beide Seiten integrieren.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Anfangswertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:41 Di 20.07.2010
Autor: Cherrykiss

ok damit bin ich jetzt so weit: [mm] \integral{-\bruch{1}{y} dy}= \integral{\bruch{1}{x} dx} [/mm]
-y= x bzw y=-x

wie würde es jetzt weiter gehn, also was fange ich mit dem neu errungen Wissen an.


//Vielen Dank für die gute Hilfe bisher :)

Bezug
                                        
Bezug
Anfangswertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 Di 20.07.2010
Autor: MathePower

Hallo Cherrykiss,

> ok damit bin ich jetzt so weit: [mm]\integral{-\bruch{1}{y} dy}= \integral{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
>  
> -y= x bzw y=-x


Diese Funktion ist keine Lösung der homogenen DGL.

Poste dazu Deine Rechenschritte bis hierhin.


>  
> wie würde es jetzt weiter gehn, also was fange ich mit dem
> neu errungen Wissen an.
>  
>
> //Vielen Dank für die gute Hilfe bisher :)


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Anfangswertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:01 Mi 21.07.2010
Autor: Cherrykiss

richtig ich hab das C ganz vergessen:

[mm] \integral{-\bruch{1}{y} dy}= \integral{\bruch{1}{x} dx} [/mm]

- ln (y) = ln (x) + C
y = -x - [mm] e^C [/mm]

stimmt das jetzt so oder hab ich wieder was falsch oder vergessen?

Bezug
                                                        
Bezug
Anfangswertaufgabe: falsch umgeformt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:09 Mi 21.07.2010
Autor: Roadrunner

Hallo Cherrykiss!


> richtig ich hab das C ganz vergessen:
> [mm]\integral{-\bruch{1}{y} dy}= \integral{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
> - ln (y) = ln (x) + C

[ok]


> y = -x - [mm]e^C[/mm]

Das ist falsch. Es gilt in der Regel:
[mm] $$e^{a+b} [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] e^a+e^b$$ [/mm]

Fasse hier zunächst zusammen:
[mm] $$-\ln(y) [/mm] \ = \ [mm] \ln(x)+C [/mm] \ = \ [mm] \ln(x)+\ln\left(\underbrace{e^C}_{=: \ k}\right) [/mm] \ = \ [mm] \ln(x)+\ln(k) [/mm] \ = \ [mm] \ln(x*k) [/mm] \ = \ [mm] \ln(k*x)$$ [/mm]

Gruß vom
Roadrunner


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Bezug
Anfangswertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:17 Mi 21.07.2010
Autor: Cherrykiss

ok das hab ich verstanden. Dadurch würde sich dann das ergeben:

[mm] y_H [/mm] = - [mm] e^C [/mm] * x

ist das jetzt soweit richtig?

Bezug
                                                                        
Bezug
Anfangswertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:24 Mi 21.07.2010
Autor: schachuzipus

Hallo,


Edit

Ich sehe gerade, dass das falsch ist:

Mit [mm] $\int{\frac{1}{y} \ dx}=\int{-\frac{1}{x} \ dx}$ [/mm] folgt

[mm] $\ln(|y|)=-\ln(|x|)+c$ [/mm]

Also [mm] $y=\tilde c\cdot{}e^{-\ln(x)}=\tilde c\cdot{}\frac{1}{x}$
[/mm]

Edit Ende

> ok das hab ich verstanden. Dadurch würde sich dann das
> ergeben:
>  
> [mm]y_H[/mm] = - [mm]e^C[/mm] * x
>  
> ist das jetzt soweit richtig? [notok]

Das [mm] $-e^C$ [/mm] ist ja auch eine Konstante, die kannst du umtaufen in [mm] $\tilde [/mm] c$ und bekommst:

[mm] $y_h=\tilde c\cdot{}x$
[/mm]

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                                
Bezug
Anfangswertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:00 Mi 21.07.2010
Autor: Cherrykiss

ok, den Fehler sehe ich ein und hab ihn korrigiert. Damit ergibt sich nun die Homogene Lösung [mm] y_H [/mm] = [mm] e^C [/mm] * [mm] \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \tilde [/mm] c * [mm] \bruch{1}{x} [/mm]

und daraus ich die inhomogene bestimmen.

Ich habe da eine Formel gefunden, bei der ich die homogene einsetze zusammen mit einer "beliebigen partikulären" [mm] y_S(x) [/mm]
Allerdings ist mir nicht klar wo ich diese her bekomme. Ist es vllt die aus meiner Ausgangsgleichung übrig gebliebenen 1 ( [mm] x^2 [/mm] * y'(x) + x*y(x) = 1)?


Bezug
                                                                                        
Bezug
Anfangswertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:08 Mi 21.07.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> ok, den Fehler sehe ich ein und hab ihn korrigiert. Damit
> ergibt sich nun die Homogene Lösung [mm] $y_H= e^C\cdot{}\bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \tilde [/mm] c [mm] \cdot{}\bruch{1}{x}$ [/mm]

Lasse doch die ollen [ mm ] [ / mm ] weg und setze besser vor die Formel ein Dollarzeichen und an den Schluss ebenfalls, also $Formel$

>  
> und daraus ich die inhomogene bestimmen.
>
> Ich habe da eine Formel gefunden, bei der ich die homogene
> einsetze zusammen mit einer "beliebigen partikulären"
> [mm]y_S(x)[/mm]

Genau, die Gesamtlösung ergibt sich als Summe der allg. hom Lösung und einer partikulären (speziellen) Lösung der inhomogenen Dgl.: [mm] $y=y_h+y_s$ [/mm]

>  Allerdings ist mir nicht klar wo ich diese her bekomme.
> Ist es vllt die aus meiner Ausgangsgleichung übrig
> gebliebenen 1 ( [mm]x^2[/mm] * y'(x) + x*y(x) = 1)?
>  

Die spezielle Lösung bekommst du mit Variation der Konstanten.

Mache in der homogenen Lösung das [mm] $\tilde [/mm] c$ von $x$ abhängig und vergl. mit der Ausgangsdgl.

Also VdK: [mm] $y=\tilde c(x)\cdot{}\frac{1}{x}$ [/mm]

Das nun ableiten und in $x^2y'+xy=1$ einsetzen (bzw. mit [mm] $y'=\frac{1}{x^2}-\frac{y}{x}$ [/mm] vergleichen) und schlussendlich [mm] $\tilde [/mm] c(x)$ durch Integration bestimmen.

Am Ende die AB benutzen ...

Gruß

schachuzipus

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