Anfangswertaufgabe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Mo 28.05.2012 | | Autor: | ggT |
| Aufgabe | Betrachte die Anfangswertaufgabe
y' = f(x,y), [mm] y(x_{0}) [/mm] = [mm] y_{0}
[/mm]
dabei gilt
[mm] f:\IR^{2}\to\IR, (x,y)\mapsto\begin{cases} \wurzel{y}x^{3}, & \mbox{falls } y > 0 \\ 0, & \mbox{falls } y \le 0 \end{cases}
[/mm]
(a) Lösen Sie die Differentialgleichung mit der Methode der getrennten Variablen.
(b) Bestimmen Sie sämtliche Lösungen für die Anfangswertbedingungen
(i) [mm] x_{0} [/mm] = 0, [mm] y_{0} [/mm] = 1 (ii) [mm] x_{0} [/mm] = 2, [mm] y_{0} [/mm] = 1
(c) Geben Sie die für in (b) gefundenen Lösungen die maximalen Definitionsbereiche an. |
Wie fange ich da am besten an. Über Anfangswertbedingungen weiß ich noch nicht sonderlich viel.
Ein Ansatz oder Ähnliches wäre recht toll, so dass ich dann weiterrechnen könnte bzw. im Skript suchen könnte, wie es weitergeht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Lass dich nicht von der Fallunterscheidung in der Definition der Funktion verwirren, das heißt nur, dass du [mm] \[\sqrt{y}x^{3}\] [/mm] in den positiven reellen Zahlen betrachtest. Und dann hast du mit
[mm] \[y'=\sqrt{y}x^{3}\]
[/mm]
eine Differentialgleichung vom Typ getrennte Variable. Da du schon bei einer anderen Differentialgleichung dieser Form vorhin Probleme hattest:
Trennung der Variablen heißt folgendes:
[mm] \[y'=\bruch{dy}{dx}=\bruch{f(x)}{g(y(x))}\]
[/mm]
jetzt machst du etwas mathematisch eher ungewöhnliches: du formst um, bis du
[mm] \[g(y(x))dy=f(x)dx\]
[/mm]
hast. Die Differentiale so herumzuschuppsen mutet ja nicht gerade streng mathematisch an, aber egal, es funktioniert. Jetzt integrierst du beide Seiten und löst nach y auf. Fertig.
In deinem Fall solltest du für Punkt a)
[mm] \[y=1/64*(x^{4}+C)^{2}\]
[/mm]
haben. Für die Lösung des Anfangswertproblems setzt du deine Anfangswerte ein und findest C=...
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