Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Di 02.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem
[mm] x'=\pmat{ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 0}x [/mm] + [mm] sint\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
und [mm] x(0)=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Hinweis: Verwenden Sie bei der Berechnung von [mm] e^{tA} [/mm] geeignete Zeilen- und Spaltenvertauschungen. Verwenden Sie zur Vereinfachung der Integration geeignete Formeln für cos [mm] \alpha [/mm] ± sin [mm] \alpha [/mm] und sin [mm] \alpha [/mm] * cos [mm] \alpha. [/mm] |
Hallo Zusammen,
ich habe die Aufgabe jetzt so gelöst, dass ich zuerst [mm] e^{tA} [/mm] berechnet habe.
Das ist bei mir folgendes:
[mm] x'=\pmat{ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 0}
[/mm]
[mm] e^{tA}= \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1}+2t*\pmat{ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0}+\bruch{(2t)^{2}}{2!}*\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1}+\bruch{(2t)^{3}}{3!}*\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0}+\bruch{(2t)^{4}}{4!}*\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1}+\bruch{(2t)^{5}}{5!}*\pmat{ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0}
[/mm]
= [mm] \pmat{ cos(2t) & 0 & -sin(2t) \\ 0 & e^{2t} & 0 \\ sin(2t) & 0 & cos(2t) }
[/mm]
Nun ist mein Problem, wie ich nun vorgehen soll. Ich muss jetzt die Methode der Variation der Konstanten verwenden, weiss aber nicht wie ich das mache. Im Skript wurde kein richtiges Beispiel dafür gezeigt. Kann mir da vielleicht jemand bitte weiterhelfen?
Vielen Dank im Voraus
Vg Exel84
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Mi 03.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie das Anfangswertproblem
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> [mm]x'=\pmat{ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 0}x[/mm] +
> [mm]sint\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> und [mm]x(0)=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Hinweis: Verwenden Sie bei der Berechnung von [mm]e^{tA}[/mm]
> geeignete Zeilen- und Spaltenvertauschungen. Verwenden Sie
> zur Vereinfachung der Integration geeignete Formeln für
> cos [mm]\alpha[/mm] ± sin [mm]\alpha[/mm] und sin [mm]\alpha[/mm] * cos [mm]\alpha.[/mm]
> Hallo Zusammen,
>
> ich habe die Aufgabe jetzt so gelöst, dass ich zuerst
> [mm]e^{tA}[/mm] berechnet habe.
> Das ist bei mir folgendes:
>
> [mm]x'=\pmat{ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 0}[/mm]
>
> [mm]e^{tA}= \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1}+2t*\pmat{ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0}+\bruch{(2t)^{2}}{2!}*\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1}+\bruch{(2t)^{3}}{3!}*\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0}+\bruch{(2t)^{4}}{4!}*\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1}+\bruch{(2t)^{5}}{5!}*\pmat{ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ cos(2t) & 0 & -sin(2t) \\ 0 & e^{2t} & 0 \\ sin(2t) & 0 & cos(2t) }[/mm]
Das ist völlig falsch ! Wie Du darauf gekommen bist, ist mir ein Rätsel !
Warum hast Du denn den Hinweis:
"Verwenden Sie bei der Berechnung von $ [mm] e^{tA} [/mm] $ geeignete Zeilen- und Spaltenvertauschungen" nicht verwendet ??
Es ist doch [mm] $x(t)=\vektor{x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t)}
[/mm]
Wenn wir nun [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] vertauschen und [mm] z(t):=\vektor{x_3(t) \\ x_2(t) \\ x_1(t)} [/mm] setzen, so kommen wir zum AWP
$ [mm] z'=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & -2}z [/mm] $ + $ [mm] sint\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] $
und $ [mm] z(0)=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] $
Nun ist die Matrix [mm] A=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & -2} [/mm] eine Diagonalmatrix !
Dann ist für n [mm] \ge [/mm] 1: [mm] A^n=2^n*\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & (-1)^n}
[/mm]
Damit kannst Du [mm] e^{tA} [/mm] ganz locker berechnen.
FRED
>
> Nun ist mein Problem, wie ich nun vorgehen soll. Ich muss
> jetzt die Methode der Variation der Konstanten verwenden,
> weiss aber nicht wie ich das mache. Im Skript wurde kein
> richtiges Beispiel dafür gezeigt. Kann mir da vielleicht
> jemand bitte weiterhelfen?
>
> Vielen Dank im Voraus
>
> Vg Exel84
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Exel84 |
Der Übungsleiter hat uns am Ende noch als Richtwert, damit wir auf dem richtigen Weg sind, die Lösung von [mm] e^{tA} [/mm] gegeben. Und so bin ich dann darauf gekommen, ohne die Zeilen und Spalten zu vertauschen.
[mm] e^{tA}= \pmat{ cos(2t) & 0 & -sin(2t) \\ 0 & e^{2t} & 0 \\ sin(2t) & 0 & cos(2t) } [/mm]
Daher dachte ich, dass es richtig ist.
Wenn ich von A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & (-1)^n} [/mm] das [mm] e^{tA} [/mm] ausrechne kommt bei mir raus:
[mm] e^{tA}=\pmat{ e^{2t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{2t} & 0 \\ 0 & 0 & 1-2t+\bruch{(2t)^{2}}{2!}-\bruch{(2t)^{3}}{3!}+... } [/mm] heraus
oder habe ich mich wieder verrechnet?
Wenn ich [mm] e^{tA} [/mm] dann habe, wie muss ich denn dann weiterrechnen?
Vg Exel84
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Mi 03.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Der Übungsleiter hat uns am Ende noch als Richtwert, damit
> wir auf dem richtigen Weg sind, die Lösung von [mm]e^{tA}[/mm]
> gegeben. Und so bin ich dann darauf gekommen, ohne die
> Zeilen und Spalten zu vertauschen.
>
> [mm]e^{tA}= \pmat{ cos(2t) & 0 & -sin(2t) \\ 0 & e^{2t} & 0 \\ sin(2t) & 0 & cos(2t) }[/mm]
>
> Daher dachte ich, dass es richtig ist.
>
> Wenn ich von A= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & (-1)^n}[/mm]
Das ist nicht das A , das ich Dir oben genannt habe !!!
Es war $ [mm] A^n=2^n\cdot{}\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & (-1)^n} [/mm] $ für n [mm] \ge [/mm] 1.
> das [mm]e^{tA}[/mm] ausrechne kommt bei mir raus:
>
> [mm]e^{tA}=\pmat{ e^{2t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{2t} & 0 \\ 0 & 0 & 1-2t+\bruch{(2t)^{2}}{2!}-\bruch{(2t)^{3}}{3!}+... }[/mm]
> heraus
>
> oder habe ich mich wieder verrechnet?
Nein. Es ist [mm] e^{tA}=\pmat{ e^{2t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{2t} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-2t}}
[/mm]
>
> Wenn ich [mm]e^{tA}[/mm] dann habe, wie muss ich denn dann
> weiterrechnen?
Dann bestimmst Du zunächst ein Fundamentalsystem des zugehörigen homogenen Differentialgleichungssystems
$ [mm] z'=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & -2}z [/mm] $.
Das bekommt man aus den Spalten von [mm] e^{At}:
[/mm]
[mm] e^{2t}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, e^{2t}*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, e^{-2t}*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Damit lautet die allg. Lösung von
$ [mm] z'=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & -2}z [/mm] $
so:
[mm] z(t)=c_1*e^{2t}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+c_2*e^{2t}*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+c_3*e^{-2t}*\vektor{0 \\ 0 \\ 1} (c_1,c_2,c_3 \in \IR)
[/mm]
Dann bestimmst Du mit Variation der Konstanten eine spezielle Lösung [mm] z_s [/mm] von
(*) $ [mm] z'=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & -2}z [/mm] $ + $ [mm] sint\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] $
Die allgemeine Lösung von (*) lautet dann:
(**) [mm] z(t)=z_s(t)+c_1*e^{2t}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+c_2*e^{2t}*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+c_3*e^{-2t}*\vektor{0 \\ 0 \\ 1} (c_1,c_2,c_3 \in \IR)
[/mm]
Für die Lösung des AWPs
$ [mm] z'=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & -2}z [/mm] $ + $ [mm] sint\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] $
und $ [mm] z(0)=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] $
bestimme in (**) die Konstanten [mm] c_1, c_2 [/mm] und [mm] c_3 [/mm] so, dass $ [mm] z(0)=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] $ gilt.
Am Ende vergiss nicht, in der Lösung des AWPs die 1. und die 3. Koordinate wieder zu tauschen.
Dann hast Du die Lösung des AWPs
$ [mm] x'=\pmat{ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 0}x [/mm] $ +$ [mm] sint\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] $
und $ [mm] x(0)=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] $ .
So nun köchele mal schön mit meinem Kochrezept.
FRED , der [mm] ^{\star} [/mm] - Koch
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> Vg Exel84
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