Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Do 14.06.2007 | | Autor: | zoe |
| Aufgabe | Staatsexamen Lehramt Mathe nicht vertieft Bayern
Herbst 2006
Bestimmen sie die maximale Lösung des Anfangswertproblems
y´= [mm] y^3 [/mm] - [mm] \bruch{y}{x}
[/mm]
x > 0
y(1) = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Hinweis: Verwenden sie die Substitution z = [mm] \bruch{1}{y^2} [/mm] |
Hallo,
wie man sehen kann, bereite ich mich gerade auf die Staatsexamensprüfung vor - leider bin ich ein jämmerlicher Mathematiker, was die höhere Mathematik betrifft und ich schwitze hier nun schon den ganzen Tag über dieser Aufgabe. In einem lichten Moment hatte ich eben eine Lösung, aber leider überhaupt keine Ahnung, ob ich da auf dem richtigen Weg bin. Ich würde mich freuen, wenn das mal jemand, der sich da besser auskennt als ich, kontrollieren würde.
Meine Lösung:
Bernoulli-DGL
y´+ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * y - [mm] y^3 [/mm] = 0 / * [mm] (-2y^{-3})
[/mm]
[mm] -2y^{-3} [/mm] * y´+ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * y * [mm] (-2y^{-3}) [/mm] - [mm] y^3 [/mm] * [mm] (-2y^{-3}) [/mm] = 0
[mm] (-y^{-2})´+ \bruch{1}{x} [/mm] * [mm] (-2y^{-2}) [/mm] + [mm] 2y^0 [/mm] = 0
[mm] (-y^{-2})´+ \bruch{1}{x} [/mm] * [mm] (-2y^{-2}) [/mm] + 2 = 0
Substitution: z = [mm] \bruch{1}{y^2}
[/mm]
(-z)´+ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * (-2z) + 2 = 0
z´- [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * (-2z) - 2 = 0
z´- [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * (-2z) = 2
g(x) wäre dann - [mm] \bruch{1}{x}; [/mm] s(x) = 2
[mm] I_1= \integral{g(x) dx} [/mm] = - [mm] \integral {\bruch{1}{x} dx} [/mm] = - ln x
[mm] I_2 [/mm] = ... bekomme ich [mm] -x^2 [/mm] raus
z = [C - [mm] x^2] [/mm] * [mm] e^{ln x} [/mm] = Cx - [mm] x^3
[/mm]
Resubstitution:
[mm] \bruch{1}{y^2} [/mm] = Cx - [mm] x^3
[/mm]
y = [mm] \wurzel{\bruch{1}{Cx - x^3}}
[/mm]
Und nun einsetzen: y (1) = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Hier komme ich dann auf C = 5
Lösung wäre demnach:
y = [mm] \wurzel{\bruch{1}{5x - x^3}}
[/mm]
Alle Arbeit umsonst? Ganz falsch? Ganz falscher Ansatz?
Ich muss zugeben, dass ich oftmals nicht weiß, was ich mache, sondern mich einfach durchmogele ..
Fragende Grüße und vielen lieben Dank im voraus,
zoe
PS: Ich habe keine Lösungen für die Staatsexamensaufgaben und würde diese händeringend suchen oder irgendjemanden, der sich meine Ergüsse mal ansieht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Do 14.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo zoe
Erst einige Vorbemerkungen
1. wenn du die Substitution vorgegeben hast, warum formst du dann lange um, statt sie gleich einzusetzen.
2. dass du beim multiplizieren mit neg Zahlen, das nicht direkt durchführst ist auxh schlecht: warum z.Bsp. [mm] +y/x*(-2x^{-3} [/mm] statt direkt [mm] -2/x*y^{-2} [/mm] usw. das braucht viel unnötige Zeit in ner Klausur, die man dann nicht zum denken hat.
Am schluss hat es dann auch zu einem Fehler geführt.
i
bis hier richtig.
> z´- [mm]\bruch{1}{x}[/mm] * (-2z) - 2 = 0
besser :
z´+ [mm]\bruch{2}{x}[/mm] *z - 2 = 0
> z´- [mm]\bruch{1}{x}[/mm] * (-2z) = 2
oder:
z´+ [mm]\bruch{2}{x}[/mm] * z= 2
> g(x) wäre dann - [mm]\bruch{1}{x};[/mm] s(x) = 2
da liegt dein Fehler: g(x)=[mm]\bruch{2}{x};[/mm]
> [mm]I_1= \integral{g(x) dx}[/mm] = - [mm]\integral {\bruch{1}{x} dx}[/mm] = -
> ln x
raus kommt 2*lnx
> [mm]I_2[/mm] = ... bekomme ich [mm]-x^2[/mm] raus
das ist dannauch fasch, da du [mm] 2*x^{-2} [/mm] integrieren musst.
So den Rest musst du dann selbst verbessern.
Wenn du deine "Ergüsse" postest, findet sich immer mal jemand, der nachschaut. BESSER ist es immer in einer Arbeitsgruppe sich auf Prüfungen vorzubereiten! das sollten vorallem angehende lehrerInnen wissen!! Wie soll man lehren-Teamarbeit- wenn mans nich selbst getan hat!
ob man ne Dgl richtig gelöst hat, findet man leicht durch differenzieren raus!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:01 Fr 15.06.2007 | | Autor: | zoe |
Guten Morgen,
mit Hilfe deiner Tipps habe ich es eben noch mal durchgerechnet.
Meine Ansatzrechnung für das lineare DGL wäre dann:
z´- 2 * [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * z + 2 = 0
s(x) = -2
g(x) = -2 * [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Das Integral von g(x) hätte dann als Ergebnis -2 ln x.
Das zweite Integral [mm] \bruch{2}{x}.
[/mm]
z = [C + [mm] \bruch{2}{x}] [/mm] * [mm] x^2 [/mm] = Cx + 2x
Nach der Resubstitution ergibt sich für
y = [mm] \wurzel{\bruch{1}{Cx + x^2}}
[/mm]
Da dann die Vorgabe y(1) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] eingesetzt liefert ein C = 7,5.
Das DGL würde also lauten:
y = [mm] \wurzel{\bruch{1}{7,5x + x^2}}
[/mm]
leduart ich danke dir sehr und hoffe, dass ich jetzt richtig(er) liege.
Ich würde sehr gerne im Team kämpfen, da ich aber aufgrund meiner persönlichen Situation größtenteils an der Fernuni studiert habe, den Abschluß aber an einer Präsenzuni machen muss, die nicht an meinem Wohnort liegt, bin ich gezwungenermaßen Einzelkämpfer.
Liebe Grüße von zoe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Fr 15.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo zoe
>
> Meine Ansatzrechnung für das lineare DGL wäre dann:
>
> z´- 2 * [mm]\bruch{1}{x}[/mm] * z + 2 = 0
Fehler
z´- 2 * [mm]\bruch{1}{x}[/mm] * z - 2=0
> s(x) = -2
daraus s=+2
> g(x) = -2 * [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
und damit [mm] e^{-2*lnx} =e^{lnx^{-2}}
[/mm]
> Das zweite Integral [mm]\bruch{2}{x}.[/mm]
>
> z = [C + [mm]\bruch{2}{x}][/mm] * [mm]x^2[/mm] = Cx + 2x
Fehler:
z = [C- [mm]\bruch{2}{x}][/mm] * [mm]x^{-2}[/mm]
deshalb Rest falsch
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Fr 15.06.2007 | | Autor: | zoe |
Hilfe, ich komme nicht auf das "-2" ... Ich glaube, ich finde mal wieder die Nadel im Heuhaufen nicht.
Ausgangsgleichung:
y´= [mm] y^3 [/mm] - [mm] \bruch{y}{x}
[/mm]
Umformung:
y´+ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * y - [mm] y^3 [/mm] = 0
n = 3 (weil es ja [mm] y^3 [/mm] ist)
Substitution z = [mm] \bruch{1}{y^2}
[/mm]
Und jetzt habe ich dann folgende Formel genommen:
z´(x) + (1 - 3) * [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * z + (1 - 3) * (-1) = 0
Der erste Teil stimmt ja mit dem deinen überein - falsch ist dann hinten meine Rechnung.
Der letzte Teil setzt sich bei mir zusammen aus dem (der Formel entnommenen) p(x) = -1 und eben dem (1 - n).
(-2) * (-1) = 2
Und das dann als s(x) auf die andere Seite bringen, ergibt dann bei mir s(x) = -2.
Mist und ich dachte, dass ich nun durch bin.
Habe ganz vielen lieben Dank !!
Liebe Grüße von zoe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Sa 16.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Tut mir leid, ich hab mich verrechnet, DU hast recht, s(x)=-2
Gruss leduart
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