Anfangswertproblem < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Fr 20.02.2009 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | Löse das Anfangswertproblem mittels Eigenvektoren und Eigenwerten
[mm] y_1^' [/mm] = 4 [mm] y_1 [/mm] + [mm] y_3
[/mm]
[mm] y_2^' [/mm] = -2 [mm] y_1 [/mm] + [mm] y_2
[/mm]
[mm] y_3^' [/mm] = -2 [mm] y_1 [/mm] + [mm] y_3
[/mm]
[mm] y_1 [/mm] (0) = -1
[mm] y_2 [/mm] (0) = 1
[mm] y_3 [/mm] (0) = 0 |
Hallo!
Ich habe gerade diese Aufgabe auf einer Musterklausur gefunden.
Leider Gottes weiß ich überhaupt nicht, was ich damit anfangen soll. Es ist nichts im Skriptum zu finden.
Die Aufgabe kam jedoch bei einem der letzten Klausurtermine.
Was will man hier zeigen?
Wie beginnt man?
Ich weiß absolut nicht, was hier zu tun ist.
mfg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Fr 20.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist ein System von homogenen linearen Differentialgleichungen.
Wie man die loest findest du im Netz oder jedem DGl. Buch.
Wenn du keine Ahnung davon hast, kann man das hier nicht mal rasch erklaeren.
Entweder seid ihr noch nicht so weit, oder die Klausur stammt von ner anderen vorlesung oder du hast nicht aufgepasst. habt ihr denn irgendwas ueber DGl gemacht und was?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Fr 20.02.2009 | | Autor: | uniklu |
Hallo!
Selber Gegenstand, selbes Jahr, nichts über diffentialgleichungen im Skript.
Wir haben definitiv nur Eigenwerte und Eigenvektoren behandelt.
Gibt es dazu ein "gutes" Beispiel im Netz? Finde nichts leicht verständliches im Netz
|
|
|
| |
|
> Hallo!
>
> Selber Gegenstand, selbes Jahr, nichts über
> diffentialgleichungen im Skript.
> Wir haben definitiv nur Eigenwerte und Eigenvektoren
> behandelt.
> Gibt es dazu ein "gutes" Beispiel im Netz? Finde nichts
> leicht verständliches im Netz
Hallo,
das Ganze beginnt damit,
daß Du
[mm] y_1'= [/mm] ...
[mm] y_2'= [/mm] ...
[mm] y_3'= [/mm] ...
schreibst als
y'= A*y mit einer Matrix A.
Von dieser benötigst Du nun erstmal die Eigenwerte und Eigenvektoren, aus denen wird später das Fundamentalsystem gebaut.
Eigenwerte und Eigenvektoren kannst Du ja sicher bestimmen, für den Rest lies über "lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten", und schau erestmal, wie weit Du damit kommst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Fr 20.02.2009 | | Autor: | uniklu |
Hallo!
Koeffizientenmatrix A = [mm] \pmat{ 4 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 }
[/mm]
Also die Eigenwerte sind:
[mm] \lambda_1 [/mm] = 3
[mm] \lambda_2 [/mm] = 2
[mm] \lambda_3 [/mm] = 1
Die Eigenvektoren sind
[mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Dann laut http://books.google.de/books?id=exi-3c7nfZMC&pg=PA186&lpg=PA186&dq=%22lineare+Differentialgleichungssysteme+mit+konstanten+Koeffizienten%22&source=web&ots=qAxhyxFSyh&sig=DeDfE_koyEezmWbp2GvwTacDSg8&hl=de&ei=9_qeSf7SN4Wv-Qbv4bm2Dg&sa=X&oi=book_result&resnum=1&ct=result#PPA187,M1
y(x) = [mm] C_1 \vec{v}_1 e^{\lambda_1 x} [/mm] + [mm] C_3 \vec{v}_2 e^{\lambda_2 x} [/mm] + [mm] C_3 \vec{v}_3 e^{\lambda_3 x}
[/mm]
y(x) = [mm] C_1 \vektor{-1 \\ 1 \\ 1} e^{3x} [/mm] + [mm] C_2 \vektor{-1 \\ 2 \\ 2} e^{2x} [/mm] + [mm] C_3 \vektor{0 \\ 1 \\ 0} e^{1x}
[/mm]
Nun habe ich die Abschreibübung gemeistert :) die Frage ist nun, was das alles bedeutet?
Was mache ich nun mit den andern Werten?
Vielen Dank für jede Hilfe!
mfg
|
|
|
| |
|
> Hallo!
>
> Koeffizientenmatrix A = [mm]\pmat{ 4 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Also die Eigenwerte sind:
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = 3
> [mm]\lambda_2[/mm] = 2
> [mm]\lambda_3[/mm] = 1
>
> Die Eigenvektoren sind
> [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 2}[/mm]
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Dann laut
> http://books.google.de/books?id=exi-3c7nfZMC&pg=PA186&lpg=PA186&dq=%22lineare+Differentialgleichungssysteme+mit+konstanten+Koeffizienten%22&source=web&ots=qAxhyxFSyh&sig=DeDfE_koyEezmWbp2GvwTacDSg8&hl=de&ei=9_qeSf7SN4Wv-Qbv4bm2Dg&sa=X&oi=book_result&resnum=1&ct=result#PPA187,M1
>
> y(x) = [mm]C_1 \vec{v}_1 e^{\lambda_1 x}[/mm] + [mm]C_3 \vec{v}_2 e^{\lambda_2 x}[/mm]
> + [mm]C_3 \vec{v}_3 e^{\lambda_3 x}[/mm]
>
> y(x) = [mm]C_1 \vektor{-1 \\ 1 \\ 1} e^{3x}[/mm] + [mm]C_2 \vektor{-1 \\ 2 \\ 2} e^{2x}[/mm]
> + [mm]C_3 \vektor{0 \\ 1 \\ 0} e^{1x}[/mm]
>
> Nun habe ich die Abschreibübung gemeistert :) die Frage ist
> nun, was das alles bedeutet?
Hallo,
Du kannst Dich davon überzeugen, daß für die von Dir gefundenen Funktionen gilt: y'= A*y,
rechne es nach.
Tja, und nun setzt Du in y(x) die 0 ein und schaust, wie Du die [mm] C_i [/mm] wählen mußt, damit die vorgegebene Bedingung erfüllt ist.
Gruß v. Angela
> Was mache ich nun mit den andern Werten?
>
> Vielen Dank für jede Hilfe!
>
> mfg
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Fr 20.02.2009 | | Autor: | uniklu |
Ich verstehe da gerade etwas nicht. Für was habe ich nun [mm] y_1 [/mm] , [mm] y_2 [/mm] und [mm] y_3 [/mm] berechnet - also mit dem Fundamentalsystem, wenn die Werte bereits gegeben sind?
y'= A*y + v
A = [mm] \pmat{ 4 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 }
[/mm]
Folgendes muss gelten:
[mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] C_1 \vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] C_2 \vektor{-1 \\ 2 \\ 2} [/mm] + [mm] C_3 \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, [/mm] da e^y0 = 1
diese bedingung stimmt aber nicht?
> Tja, und nun setzt Du in y(x) die 0 ein und schaust, wie Du v wählen > mußt, damit die vorgegebene Bedingung erfüllt ist.
Wo soll ich dies einsetzen?
Sorry, stehe gerade etwas auf der Leitung.
Mir sagt das ganze im Moment überhaupt nichts.
mfg
|
|
|
| |
|
> Ich verstehe da gerade etwas nicht. Für was habe ich nun
> [mm]y_1[/mm] , [mm]y_2[/mm] und [mm]y_3[/mm] berechnet - also mit dem
> Fundamentalsystem, wenn die Werte bereits gegeben sind?
Hallo,
was meinst Du mit "wenn die Werte bereits gegeben sind" ?
Du hast jetzt die Menge aller Funktionen gefunden, für welche
$ [mm] y_1^' [/mm] $ = 4 $ [mm] y_1 [/mm] $ + $ [mm] y_3 [/mm] $
$ [mm] y_2^' [/mm] $ = -2 $ [mm] y_1 [/mm] $ + $ [mm] y_2 [/mm] $
$ [mm] y_3^' [/mm] $ = -2 $ [mm] y_1 [/mm] $ + $ [mm] y_3 [/mm] $
gilt.
> Wo soll ich dies einsetzen?
> Sorry, stehe gerade etwas auf der Leitung.
> Mir sagt das ganze im Moment überhaupt nichts.
Das ist gut. Die Geschichte mit meinem v war auch Blödsinn, ich hab#s inzwichen korrigiert. Keine Ahnung, was ich mir dabei gerade gedacht habe. Wahrscheinlich wenig oder nichts Gutes.
Du mußt nun aus der Anfangsbedingung y(0)= ... die Faktoren [mm] C_i [/mm] bestimmen.
Gruß v. Angeka
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 Fr 20.02.2009 | | Autor: | crashby |
> > Hallo!
> >
> > Koeffizientenmatrix A = [mm]\pmat{ 4 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 }[/mm]
>
> >
> > Also die Eigenwerte sind:
> >
> > [mm]\lambda_1[/mm] = 3
> > [mm]\lambda_2[/mm] = 2
> > [mm]\lambda_3[/mm] = 1
> >
> > Die Eigenvektoren sind
> > [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> > [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 2}[/mm]
> >
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> >
> > Dann laut
> >
> http://books.google.de/books?id=exi-3c7nfZMC&pg=PA186&lpg=PA186&dq=%22lineare+Differentialgleichungssysteme+mit+konstanten+Koeffizienten%22&source=web&ots=qAxhyxFSyh&sig=DeDfE_koyEezmWbp2GvwTacDSg8&hl=de&ei=9_qeSf7SN4Wv-Qbv4bm2Dg&sa=X&oi=book_result&resnum=1&ct=result#PPA187,M1
> >
> > y(x) = [mm]C_1 \vec{v}_1 e^{\lambda_1 x}[/mm] + [mm]C_3 \vec{v}_2 e^{\lambda_2 x}[/mm]
> > + [mm]C_3 \vec{v}_3 e^{\lambda_3 x}[/mm]
> >
> > y(x) = [mm]C_1 \vektor{-1 \\ 1 \\ 1} e^{3x}[/mm] + [mm]C_2 \vektor{-1 \\ 2 \\ 2} e^{2x}[/mm]
> > + [mm]C_3 \vektor{0 \\ 1 \\ 0} e^{1x}[/mm]
> >
> > Nun habe ich die Abschreibübung gemeistert :) die Frage ist
> > nun, was das alles bedeutet?
Hallo,
wir fangen mal so an:
$ [mm] y'=a\cdot [/mm] y +b(x) $
Weißt du was eine DGL ist?
da oben haben wir eine DGL 1.Ordung. Wenn die DGL homgen ist (b(x)=0) dann bekommt man eine homogene Lösung so raus:
$ [mm] y_h=c\cdot e^{\int a(t)dt} [/mm] $
Du hast ein DGL System gegeben. wie oben schon gesehen berechnet man die Eigenwerte und die nötigen Eigenvektoren.
und dann schreibt man die Lösung einfach so also [mm] $x(t)=c_1\cdot e^{\lambda \cdot t} [/mm] $ usw. also eben die Eigenwerte nehmen und für lambda einsetzen, was auch oben gemacht wurde.
Nun weiß man aus der linearen Algebra das zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor. 3 Vektoren die linear unabhängig sind bilden eine Basis. So ist das auch bei DGL'n. Die 3 Eigenvektoren bzw die 3 Lösungen sind linear unabhängig (nicht nachgerechnet) das kann man mittels der Wronski-matrix zeigen.
Da diese linear unabhängig sind bilden sie ein sogenanntes Fundamentalsystem.
Bei homogene DGL gilt auch weiterhin das Linearkombinationen auch wieder Lösungen der DGL sind.
z.b wenn du einen doppelten Eigenwert hast z.b $ [mm] \lambda=2 [/mm] $
dann ist eine homogene Lösung (normale DGL gegeben)
$ [mm] y_h= c_1\cdot e^{2t}+c_2\cdot [/mm] t [mm] \cdot e^{2t} [/mm] $
Bei DGL System musst du wenn du einen doppelte Eigenwert hast noch einen Hauptvektor ausrechnen.
Ich hoffe ich konnte ein wenig helfen.
lg
|
|
|
|
