Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Do 24.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Hallo, ich habe mal eine Frage zu Differentialgleichungssystemen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Und zwar sind mir zwei Wege bekannt, zu einer Lösung zu kommen.
1.) Man berechnet die Fundamentalmatrix [mm] e^{At} [/mm] mittels Bestimmung einer Transformationsmatrix S (Jordan) und berechnet dann damit [mm] e^{At}=S\cdot diag(e^{A_1t},...,e^{A_kt})S^{-1}, [/mm] wobei [mm] A_1,...,A_k [/mm] die Jordanblöcke sind.
2.) Man ermittelt die Eigenwerte und dann dazu Eigenvektoren und hat dann mit [mm] \sum_{j=1}^{r} e^{\lambda_jt} P_j(t), [/mm] wobei [mm] P_j [/mm] ein Polynom vom Grad kleiner der Vielfachheit des jeweiligen Eigenwerts ist, die Lösung.
Dies ist glaube ich die allgemeine Methode, ich glaube, im Spezialfall, dass man nur einfache Eigenwerte hat, kann man auch einfach [mm] \sum_{j=1}^{r} c_j\cdot v_j\cdot e^{\lambda_jt} [/mm] rechnen.
So weit, so gut.
Ich würde den ersten Weg (der mir irgendwie angenehmer ist), mal an einer Aufgabe austesten wollen. |
[mm] y'=\pmat{ 3 & -4 \\ 1 & -1 } [/mm] y, [mm] y(0)=\vektor{ 3 \\ 1 }
[/mm]
1 ist doppelter Eigenwert,
Die Transformationsmatrix ist: [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Sodass ich auf
[mm] e^{At}=\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1 } \cdot \pmat{ e^t & te^t \\ 0 & e^t }\cdot \pmat{ 1 & -2 \\ 0 & 1 }=\pmat{e^t & te^t \\ 0 & e^t } [/mm] komme.
Meines Wissens lautet die allgemeine Lösung dann
[mm] y=Y\cdot c=e^{At}\cdot [/mm] c und
[mm] c=\vektor{ 3 \\ 1 }
[/mm]
Das stimmt jedoch nicht mit der Lösung überein, die man über den zweiten Lösungsweg erhält, dieser liefert für das Anfangswertproblem die Lösung(laut Buch):
[mm] y(t)=e^t\pmat{ 3+2t \\ 1+t }
[/mm]
Es muss doch aber bei beiden Lösungsmethoden das gleiche Ergebnis herauskommen. Wo liegt mein Fehler bei der Anwendung des ersten Weges?
Ich wäre sehr dankbar für Hilfe, denn ich komme an dieser Stelle nicht weiter.
y(t)=
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 Do 24.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich sehe gerade, dass ich mich mehrfach verschrieben habe. Ich werde die Fehler gleich beheben. Meine Frage bleibt aber bestehen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Do 24.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich mal eine Frage zu Differentialgleichungssystemen
> 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
>
> Und zwar sind mir zwei Wege bekannt, zu einer Lösung zu
> kommen.
>
> 1.) Man berechnet die Fundamentalmatrix [mm]e^{At}[/mm] mittels
> Bestimmung einer Transformationsmatrix S (Jordan) und
> berechnet dann damit [mm]e^{At}=S\cdot diag(a^{A_1t},...,e^{A_kt})S^{-1},[/mm]
> wobei [mm]A_1,...,A_k[/mm] die Jordanblöcke sind.
>
> 2.) Man ermittelt die Eigenwerte und dann dazu
> Eigenvektoren und hat dann mit [mm]\sum_{j=1}^{r} e^{\lambda_jt} P_j(t),[/mm]
> wobei [mm]P_j[/mm] ein Polynom vom Grad kleiner der Vielfachheit des
> jeweiligen Eigenwerts ist, die Lösung.
> Dies ist glaube ich die allgemeine Methode, ich glaube, im
> Spezialfall, dass man nur einfache Eigenwerte hat, kann man
> auch einfach [mm]\sum_{j=1}^{r} c_j\cdot v_j\cdot e^{\lambda_jt}[/mm]
> rechnen.
>
> So weit, so gut.
>
> Ich würde den ersten Weg (der mir irgendwie angenehmer
> ist), mal an einer Aufgabe austesten wollen.
> [mm]y'=\pmat{ 3 & -4 \\ 1 & -1 }[/mm] y, [mm]y(0)=\vektor{ 3 \\ 1 }[/mm]
>
> 1 ist doppelter Eigenwert,
> Die Transformationsmatrix ist: [mm]\pmat[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ 1 & 2 [mm]\\[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 & 1 }
>
> Sodass ich auf
> [mm]e^{At}=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1 } \cdot \pmat{ e^t & te^t \\ 0 & e^t }\cdot \pmat{ 1 & -2 \\ 0 & 1 }=\pmat{e^t & te^t \\ 0 & e^t }[/mm]
Das ist mir rätselhaft wie diese Zeile zustande kommt ! Was macht denn die Einheitsmatrix da nch dem esten "=" ?
Dass [mm] e^{At} \ne \pmat{e^t & te^t \\ 0 & e^t } [/mm] ist, kannst Du schon daran sehen, weil die erste Spalte dieser Matrix keine Lösung des Systems ist !!
> komme.
>
> Meines Wissens lautet die allgemeine Lösung dann
> [mm]y=Y\cdot c=e^{At}\cdot[/mm] c und
>
> [mm]c=\vektor{ 3 \\ 1 }[/mm]
>
>
> Das stimmt jedoch nicht mit der Lösung überein, die man
> über den zweiten Lösungsweg erhält, dieser liefert für
> das Anfangswertproblem die Lösung(laut Buch):
>
> [mm]y(t)=e^t\pmat{ 3+2t \\ 1+7 }[/mm]
Sollte da nicht [mm]y(t)=e^t\pmat{ 3+2t \\ 1+7t }[/mm] stehen ?
FRED
>
>
> Es muss doch aber bei beiden Lösungsmethoden das gleiche
> Ergebnis herauskommen. Wo liegt mein Fehler bei der
> Anwendung des ersten Weges?
>
> Ich wäre sehr dankbar für Hilfe, denn ich komme an dieser
> Stelle nicht weiter.
>
> y(t)=
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Do 24.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ich habe alle Fehler berichtigt.
Da habe ich nicht aufgepasst und daher kam das zustande.
Vielleicht kann man mir jetzt weiter helfen? |
...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Do 24.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe alle Fehler berichtigt.
> Da habe ich nicht aufgepasst und daher kam das zustande.
>
> Vielleicht kann man mir jetzt weiter helfen?
Es hilft nichts. Es ist
$ [mm] e^{At} \ne \pmat{e^t & te^t \\ 0 & e^t } [/mm] $
FRED
> ...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Do 24.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Okay, aber wo liegt der Fehler?
Die Transformationsmatrix müsste stimmen, denn das habe ich kontrolliert.
Ist die mittlere Matrix verkehrt? |
Oder die inverse Matrix?
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Hallo dennis2,
> Okay, aber wo liegt der Fehler?
>
> Die Transformationsmatrix müsste stimmen, denn das habe
> ich kontrolliert.
Ja. die stimmt auch.
>
> Ist die mittlere Matrix verkehrt?
Die mittelere Matrix muss gerade die Transponierte davon sein.
> Oder die inverse Matrix?
[mm]\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}\pmat{3 & -4 \\ 1 & -1}\pmat{1 & -2 \\ 0 & 1}=\pmat{5 & -16 \\ 1 & -3} \not= \pmat{1 & 0 \\ 1 & 1}[/mm]
Richtig muss es deshalb heissen:
[mm]\pmat{1 & \blue{-}2 \\ 0 & 1}\pmat{3 & -4 \\ 1 & -1}\pmat{1 & \blue{+}2 \\ 0 & 1}= \pmat{1 & 0 \\ 1 & 1}[/mm]
Demnach ist
[mm]S=\pmat{1 & -2 \\ 0 & 1}, \ S^{-1}=\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Do 24.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
> Hallo dennis2,
>
> > Okay, aber wo liegt der Fehler?
> >
> > Die Transformationsmatrix müsste stimmen, denn das habe
> > ich kontrolliert.
>
>
> Ja. die stimmt auch.
>
>
> >
> > Ist die mittlere Matrix verkehrt?
>
>
> Die mittelere Matrix muss gerade die Transponierte davon
> sein.
>
Was meinst Du damit? Hat das was damit zu tun, dass ich die 1 auf der Nebendiagonalen auf die obere Nebendiagonale geschrieben habe?
Mit der mittleren Matrix meinte ich die Matrix
[mm] \pmat{ e^t & te^t \\ 0 & e^t }
[/mm]
Inwiefern brauche ich davon jetzt das Transponierte? Du meinst also:
[mm] \pmat{ e^t & 0 \\ te^t & e^t }?
[/mm]
>
> > Oder die inverse Matrix?
>
>
> [mm]\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}\pmat{3 & -4 \\ 1 & -1}\pmat{1 & -2 \\ 0 & 1}=\pmat{5 & -16 \\ 1 & -3} \not= \pmat{1 & 0 \\ 1 & 1}[/mm]
>
> Richtig muss es deshalb heissen:
>
> [mm]\pmat{1 & \blue{-}2 \\ 0 & 1}\pmat{3 & -4 \\ 1 & -1}\pmat{1 & \blue{+}2 \\ 0 & 1}= \pmat{1 & 0 \\ 1 & 1}[/mm]
>
> Demnach ist
>
> [mm]S=\pmat{1 & -2 \\ 0 & 1}, \ S^{-1}=\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}[/mm]
>
Okay, dann habe ich das verdreht.
Wenn ich das oben mit dem Transponierten korrekt verstanden habe, so erhält man dann also:
[mm] \pmat{ 1 & -2 \\ 0 & 1 }\cdot \pmat{ e^t & 0 \\ te^t & e^t }\cdot \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }=\pmat{ e^t-2te^t & -4te^t \\ te^t & e^t+2te^t }??
[/mm]
Kommt da denn jetzt das obige Ergebnis raus?
> Gruss
> MathePower
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Hallo dennis2,
> > Hallo dennis2,
> >
> > > Okay, aber wo liegt der Fehler?
> > >
> > > Die Transformationsmatrix müsste stimmen, denn das habe
> > > ich kontrolliert.
> >
> >
> > Ja. die stimmt auch.
> >
> >
> > >
> > > Ist die mittlere Matrix verkehrt?
> >
> >
> > Die mittelere Matrix muss gerade die Transponierte davon
> > sein.
> >
>
> Was meinst Du damit? Hat das was damit zu tun, dass ich die
> 1 auf der Nebendiagonalen auf die obere Nebendiagonale
> geschrieben habe?
> Mit der mittleren Matrix meinte ich die Matrix
> [mm]\pmat{ e^t & te^t \\ 0 & e^t }[/mm]
>
> Inwiefern brauche ich davon jetzt das Transponierte? Du
> meinst also:
> [mm]\pmat{ e^t & 0 \\ te^t & e^t }?[/mm]
Berechne doch mal [mm]e^{\pmat{1 & 0 \\ 1 & 1}t}[/mm]
> >
> > > Oder die inverse Matrix?
> >
> >
> > [mm]\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}\pmat{3 & -4 \\ 1 & -1}\pmat{1 & -2 \\ 0 & 1}=\pmat{5 & -16 \\ 1 & -3} \not= \pmat{1 & 0 \\ 1 & 1}[/mm]
>
> >
> > Richtig muss es deshalb heissen:
> >
> > [mm]\pmat{1 & \blue{-}2 \\ 0 & 1}\pmat{3 & -4 \\ 1 & -1}\pmat{1 & \blue{+}2 \\ 0 & 1}= \pmat{1 & 0 \\ 1 & 1}[/mm]
>
> >
> > Demnach ist
> >
> > [mm]S=\pmat{1 & -2 \\ 0 & 1}, \ S^{-1}=\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}[/mm]
>
> >
> Okay, dann habe ich das verdreht.
> Wenn ich das oben mit dem Transponierten korrekt verstanden
> habe, so erhält man dann also:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 \\ 0 & 1 }\cdot \pmat{ e^t & 0 \\ te^t & e^t }\cdot \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }=\pmat{ e^t-2te^t & -4te^t \\ te^t & e^t+2te^t }??[/mm]
>
> Kommt da denn jetzt das obige Ergebnis raus?
Ja.
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Do 24.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
> Hallo dennis2,
>
> > > Hallo dennis2,
> > >
> > > > Okay, aber wo liegt der Fehler?
> > > >
> > > > Die Transformationsmatrix müsste stimmen, denn das habe
> > > > ich kontrolliert.
> > >
> > >
> > > Ja. die stimmt auch.
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> > >
> > > >
> > > > Ist die mittlere Matrix verkehrt?
> > >
> > >
> > > Die mittelere Matrix muss gerade die Transponierte davon
> > > sein.
> > >
> >
> > Was meinst Du damit? Hat das was damit zu tun, dass ich die
> > 1 auf der Nebendiagonalen auf die obere Nebendiagonale
> > geschrieben habe?
> > Mit der mittleren Matrix meinte ich die Matrix
> > [mm]\pmat{ e^t & te^t \\ 0 & e^t }[/mm]
> >
> > Inwiefern brauche ich davon jetzt das Transponierte? Du
> > meinst also:
> > [mm]\pmat{ e^t & 0 \\ te^t & e^t }?[/mm]
>
>
> Berechne doch mal [mm]e^{\pmat{1 & 0 \\ 1 & 1}t}[/mm]
>
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> > >
> > > > Oder die inverse Matrix?
> > >
> > >
> > > [mm]\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}\pmat{3 & -4 \\ 1 & -1}\pmat{1 & -2 \\ 0 & 1}=\pmat{5 & -16 \\ 1 & -3} \not= \pmat{1 & 0 \\ 1 & 1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Richtig muss es deshalb heissen:
> > >
> > > [mm]\pmat{1 & \blue{-}2 \\ 0 & 1}\pmat{3 & -4 \\ 1 & -1}\pmat{1 & \blue{+}2 \\ 0 & 1}= \pmat{1 & 0 \\ 1 & 1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Demnach ist
> > >
> > > [mm]S=\pmat{1 & -2 \\ 0 & 1}, \ S^{-1}=\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}[/mm]
>
> >
> > >
> > Okay, dann habe ich das verdreht.
> > Wenn ich das oben mit dem Transponierten korrekt verstanden
> > habe, so erhält man dann also:
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & -2 \\ 0 & 1 }\cdot \pmat{ e^t & 0 \\ te^t & e^t }\cdot \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }=\pmat{ e^t-2te^t & -4te^t \\ te^t & e^t+2te^t }??[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> >
> > Kommt da denn jetzt das obige Ergebnis raus?
>
>
> Ja.
>
>
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
>
>
>
> Gruss
> MathePower
Tut mir leid, ich begreife es nicht.#
Ich sehe nur den Unterschied, dass Du die 1 auf die untere Nebendiagonale schreibst.
Ich habe da ein "Rezept" zur Bestimmung von e^{At} gefunden und da schreibt man die 1 auf die obere Nebendiagonale.
Wenn ich e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } danach ausrechne, komme ich auf das, was ich schon von Beginn an raushatte.
Ich verstehe nicht, was sich daran ändert, wenn man die 1 auf die untere Nebendiagonale schreibt, wir haben sie immer auf die obere geschrieben.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo dennis2,
>
>
> Tut mir leid, ich begreife es nicht.#
> Ich sehe nur den Unterschied, dass Du die 1 auf die untere
> Nebendiagonale schreibst.
>
> Ich habe da ein "Rezept" zur Bestimmung von e^{At} gefunden
> und da schreibt man die 1 auf die obere Nebendiagonale.
>
> Wenn ich e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } danach ausrechne, komme
> ich auf das, was ich schon von Beginn an raushatte.
>
>
> Ich verstehe nicht, was sich daran ändert, wenn man die 1
> auf die untere Nebendiagonale schreibt, wir haben sie immer
> auf die obere geschrieben.
>
Wenn Du die Transformationsmatrix [mm]\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}[/mm]
auf die Matrix A anwendest, dann ergibt sich:
[mm]\left(\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}\right)^{-1}A\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}=\pmat{1 & 0 \\ 1 & 1}[/mm]
Vertauscht Du die Spalten in der Transformationsmatrix,
dann ergibt sich:
[mm]\left(\pmat{2 & 1 \\ 1 & 0}\right)^{-1}A\pmat{2 & 1 \\ 1 & 0}=\pmat{1 & 1 \\ 0 & 1}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Do 24.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Aber warum ist das hier denn notwendig?
Warum muss die 1 dort stehen?
[Einfach Zufall, weil der Fragesteller das so gewählt hat? Wenn ich mich an das Rezept halte, komme ich jedenfalls immer und immer wieder auf mein allererstes Ergebnis.]
Ich verstehe das einfach nicht!
Das Rezept erwähnt das überhaupt nicht.
Und inweifern kommt am Ende als Lösung für das Anfangswertproblem [mm] e^t\pmat{3+2t \\ 1+t } [/mm] raus?
Auch das sehe ich nicht.
Würde man nicht rechnen:
[mm] y(0)=\pmat{ e^0-2\cdot 0ß\cdot e^0 & -4\cdot 0\cdot e^0 \\ 0\cdot e^0 & e^0+2e^0 }\cdot \vektor{ c_1 \\ c_2 }=\vektor{ 3 \\ 1 } \Rightarrow c_1=3, c_2=1?
[/mm]
Und ich komme dann auf [mm] \pmat{ 3e^t-10te^t \\ 3te^t+3e^t }.
[/mm]
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Hallo dennis2,
> Aber warum ist das hier denn notwendig?
> Warum muss die 1 dort stehen?
> [Einfach Zufall, weil der Fragesteller das so gewählt
> hat? Wenn ich mich an das Rezept halte, komme ich
> jedenfalls immer und immer wieder auf mein allererstes
> Ergebnis.]
> Ich verstehe das einfach nicht!
In welcher Nebendiagonale die "1" steht, hängt hier davon ab,
wie die Vektoren in der Transfomationsmatrix platziert werden.
>
> Das Rezept erwähnt das überhaupt nicht.
>
>
> Und inweifern kommt am Ende als Lösung für das
> Anfangswertproblem [mm]e^t\pmat{3+2t \\ 1+t }[/mm] raus?
> Auch das sehe ich nicht.
>
> Würde man nicht rechnen:
> [mm]y(0)=\pmat{ e^0-2\cdot 0ß\cdot e^0 & -4\cdot 0\cdot e^0 \\ 0\cdot e^0 & e^0+2e^0 }\cdot \vektor{ c_1 \\ c_2 }=\vektor{ 3 \\ 1 } \Rightarrow c_1=3, c_2=1?[/mm]
>
Ja.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Do 24.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Okay, ich möchte die 1 auf der oberen Diagonalen haben, dafür ist eine bestimmte Spaltenreihenfolge in der Transformationsmatrix notwendig, das habe ich verstanden.
Aber verstehst Du mein Problem überhaupt?
Ich möchte dem Rezept folgen und komme damit auf [mm] e^{At}=\pmat{e^t & te^t \\ 0 & e^t }, [/mm] was falsch ist.
Du willst mir jetzt mitteilen, dass ich jetzt die Spalten in der Transformationsmatrix umtauschen muss und dann komme ich auf das Ergebnis, korrekt?
Für mich kommt da aber das Ergebnis nicht raus (das habe ich in meiner letzten Frage unten ergänzt, ich habe da was Anderes raus.)
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Hallo dennis2,
> Okay, ich möchte die 1 auf der oberen Diagonalen haben,
> dafür ist eine bestimmte Spaltenreihenfolge in der
> Transformationsmatrix notwendig, das habe ich verstanden.
>
> Aber verstehst Du mein Problem überhaupt?
>
> Ich möchte dem Rezept folgen und komme damit auf
> [mm]e^{At}=\pmat{e^t & te^t \\ 0 & e^t },[/mm] was falsch ist.
>
> Du willst mir jetzt mitteilen, dass ich jetzt die Spalten
> in der Transformationsmatrix umtauschen muss und dann komme
> ich auf das Ergebnis, korrekt?
>
> Für mich kommt da aber das Ergebnis nicht raus (das habe
> ich in meiner letzten Frage unten ergänzt, ich habe da was
> Anderes raus.)
Wenn Du so rechnest, wie ich Dir das beschrieben habe,
kommt das nicht heraus:
[mm]\pmat{2 & 1 \\ 1 & 0}^{-1}\pmat{e^{t} & t e^{t} \\ 0 & e^{t}}\pmat{2 & 1 \\ 1 & 0}[/mm]
Rechnest Du dagegen so:
[mm]\pmat{2 & 1 \\ 1 & 0}\pmat{e^{t} & t e^{t} \\ 0 & e^{t}}\pmat{2 & 1 \\ 1 & 0}^{-1}[/mm]
dann kommt das richtige heraus.
Ergo ist die Matrix S gleichzusetzen mit der Transformationsmatrix.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Do 24.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Danke, ich denke nun ists auch in meinem Schädel angekommen. Mir war nicht klar, dass das so sehr abhängen kann von der Reihenfolge der Anordnung der Basisvektoren.
Vielen Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Do 24.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Dies hier habe ich versucht zu befolgen:
1. Schritt:
Berechnung der Eigenwerte von A
2. Schritt:
Berechnung der Eigenvektoren (und gegebenenfalls Hauptvektoren) von A und spaltenweise Anordnung dieser Vektoren zu einer Matrix T.
3. Schritt:
Berechnung von [mm] T^{-1}
[/mm]
4. Schritt:
Berechnung von [mm] T^{-1}AT [/mm] und erkennen der Jordanblöcke [mm] A_1,...,A_k [/mm] in der Darstellung [mm] T^{-1}AT=diag(A_1,...,A_k)
[/mm]
5. Schritt:
Berechnung von [mm] e^{At} [/mm] nach der Formel
[mm] e^{At}=T\cdot diag(e^{A_1t},...,e^{A_kt})\cdot T^{-1}, [/mm] wobei die [mm] e^{A_1t},...,e^{A_kt} [/mm] berechnet werden nach
[mm] e^{\pmat{ \lambda & 1 & \hdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \hdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & 1 \\ 0 & 0 & \hdots & \lambda }}=e^{\lambda\cdot t}\cdot \pmat{ 1 & t & \frac{t^2}{2} & \hdots & \frac{t^{L-1}}{(L-1)!} \\ \vdots & 1 & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & 1 & \vdots & \frac{t^2}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
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