Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Di 25.10.2011 | | Autor: | sigmar |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblems:
[mm] y_{1}' [/mm] = [mm] 7y_{1} [/mm] + [mm] 3y_{2} [/mm] - [mm] 15y_{3}
[/mm]
[mm] y_{2}' [/mm] = [mm] 3y_{1} [/mm] - [mm] y_{2} [/mm] - [mm] 5y_{3}
[/mm]
[mm] y_{3}' [/mm] = [mm] 6y_{1} [/mm] + [mm] 2y_{2} [/mm] - [mm] 12y_{3}
[/mm]
[mm] y_{1}(3) [/mm] = 1
[mm] y_{2}(3) [/mm] = 2
[mm] y_{3}(3) [/mm] = 3 |
Daraus baue ich jetzt erstmal die Matrix A = [mm] \pmat{ 7 & 3 & -15 \\ 3 & -1 & -5 \\ 6 & 2 & -12}
[/mm]
Da diese nicht nilpotent ist versuche ich sie in A = [mm] BDB^{-1} [/mm] zu zerlegen um anschließend [mm] e^{tA} [/mm] = [mm] Be^{tD}B^{-1} [/mm] auszurechnen.
Allerdings habe ich jetzt Probleme B zu bestimmen. Ich finde im Skript leider keine genaue Vorschrift, aber bisher haben wir B immer aus den Eigenvektoren von A zusammengebaut. Wenn ich die Matrix allerdings in Wolfram Alpha eingebe erhalte ich die Eigenvektoren [mm] \vektor{5 \\ 0 \\ 3}, \vektor{-1 \\ 3 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}, [/mm] daraus kann man zwar eine Matrix bauen, diese ist aufgrund des Nullvektors allerdings nicht invertierbar.
Was mache ich falsch?
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Hallo sigmar,
> Bestimmen Sie die Lösung des folgenden
> Anfangswertproblems:
>
> [mm]y_{1}'[/mm] = [mm]7y_{1}[/mm] + [mm]3y_{2}[/mm] - [mm]15y_{3}[/mm]
> [mm]y_{2}'[/mm] = [mm]3y_{1}[/mm] - [mm]y_{2}[/mm] - [mm]5y_{3}[/mm]
> [mm]y_{3}'[/mm] = [mm]6y_{1}[/mm] + [mm]2y_{2}[/mm] - [mm]12y_{3}[/mm]
>
> [mm]y_{1}(3)[/mm] = 1
> [mm]y_{2}(3)[/mm] = 2
> [mm]y_{3}(3)[/mm] = 3
>
> Daraus baue ich jetzt erstmal die Matrix A = [mm]\pmat{ 7 & 3 & -15 \\
3 & -1 & -5 \\
6 & 2 & -12}[/mm]
>
> Da diese nicht nilpotent ist versuche ich sie in A =
> [mm]BDB^{-1}[/mm] zu zerlegen um anschließend [mm]e^{tA}[/mm] =
> [mm]Be^{tD}B^{-1}[/mm] auszurechnen.
> Allerdings habe ich jetzt Probleme B zu bestimmen. Ich
> finde im Skript leider keine genaue Vorschrift, aber bisher
> haben wir B immer aus den Eigenvektoren von A
> zusammengebaut. Wenn ich die Matrix allerdings in Wolfram
> Alpha eingebe erhalte ich die Eigenvektoren [mm]\vektor{5 \\
0 \\
3}, \vektor{-1 \\
3 \\
0}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0},[/mm] daraus kann man zwar eine Matrix
> bauen, diese ist aufgrund des Nullvektors allerdings nicht
> invertierbar.
Der Nullvektor ist per definitionem niemals ein Eigenvektor!
Deine Matrix $A$ ist nicht diagonalisierbar, sie hat [mm] $\lambda=-2$ [/mm] als dreifachen Eigenwert, der zugeh. Eigenraum hat aber Dimension 2.
Da musst du dir anders behelfen, schaue mal hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Matrixexponential
unter "allgemeiner Fall"
> Was mache ich falsch?
Gruß
schachuzipus
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