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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Do 02.02.2012 | | Autor: | gotoxy86 |
[mm] \int\frac{dx}{x}=\int\frac{dy}{y\operatorname{ln}y}
[/mm]
[mm] \operatorname{ln}x+C=\operatorname{ln}\operatorname{ln}y
[/mm]
Da kommt dann bei mir raus: [mm] (e^{e^C})^x=y
[/mm]
Anfangsbedingungen waren: y(1)=e
Also: [mm] e^{e^C}=e
[/mm]
Dann ist bei mir die Lösung nach 2 mal logarithmieren: C=0
Aber, wenn man die linke Seite zusammenfast: D=e
Nach nur 1 mal logarithmieren und zusammenfassen: D=1
Das letztere ist bei mir als Lösung angegeben.
Aber wieso, warum nicht die anderen?
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Hallo,
was meinst du mit D und zusammenfassen? Soll vielleicht
[mm] D=e^C
[/mm]
gelten?
Dann wäre ja für C=0 D=1 sozusagen die natürliche Folge. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Do 02.02.2012 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | | Nein, wie fassen immer so zusammen, dass [mm] e^C [/mm] immer noch eine konstante bleibt, die wir dann wiederum C nennen, ich nenn sie nur D, weil ich sonst durcheinander komme. |
und wenn wir dann [mm] e^D [/mm] (also das zusammengefasste C) ergibt sich wiederum ein C bzw. D.
Es kommen also drei verschiedene Lösung raus (die ja eigentlich nicht falsch sind), aber welche gilt, mit welcher rechne ich dann weiter.
Danach setzen wir die Lösung noch mals irgendwo ein, aber weiß jetzt auch nicht mehr wo.
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Hallo gotoxy86,
> Nein, wie fassen immer so zusammen, dass [mm]e^C[/mm] immer noch
> eine konstante bleibt, die wir dann wiederum C nennen, ich
> nenn sie nur D, weil ich sonst durcheinander komme.
> und wenn wir dann [mm]e^D[/mm] (also das zusammengefasste C) ergibt
> sich wiederum ein C bzw. D.
Das ist ja auch gut so!
>
>
> Es kommen also drei verschiedene Lösung raus (die ja
> eigentlich nicht falsch sind), aber welche gilt, mit
> welcher rechne ich dann weiter.
>
> Danach setzen wir die Lösung noch mals irgendwo ein, aber
> weiß jetzt auch nicht mehr wo.
Nun, als Lösung ergibt sich nach deiner Integration:
[mm]\ln(x)+C=\ln(\ln(y))[/mm] (wobei man streng genommen [mm]\ln(|x|)[/mm] schreiben müsste und analog bei y [mm]\ln(|\ln(|y|)|)[/mm] ...)
Nun denn, dann auf beiden Seiten die e-Fkt. anweden:
[mm]\Rightarrow e^{\ln(x)+C}=e^{\ln(\ln(y))}[/mm]
Also [mm]e^{\ln(x)}\cdot{}e^C=\ln(y)[/mm]
Und damit [mm]e^C\cdot{}x=\ln(y)[/mm]
Mit [mm]C_1:=e^C[/mm]: [mm]C_1\cdot{}x=\ln(y)[/mm]
Nun nochmal die e-Fkt. anwenden:
[mm]\Rightarrow e^{C_1\cdot{}x}=y[/mm]
Anfangswert einsetzen: [mm]y(1)=e^{C_1\cdot{}1}=e^{C_1}:=e[/mm]
Daraus folgt: [mm]C_1=1[/mm]
Also hast du als Lösungsfunktion [mm]y(x)=e^x[/mm]
In deiner Version hast du [mm]\left(e^{e^C}\right)^x=y[/mm]
Dort die AB einsetzen: [mm]y(1)=e^{e^C}:=e=e^1[/mm]
Also [mm]e^C=1[/mm] und damit [mm]C=0[/mm]
Das liefert dir die Lösung [mm][/mm][mm]\left(e^{e^C}\right)^x=\left(e^{e^0}\right)^x=[/mm][mm]\left(e^{1}\right)^x=e^x=y[/mm]
Also dieselbe Lösung, die man erhält, wenn man die Konstanten direkt umbenennt.
Es ist also für das Ergbnis egal, ob du die Konstanten umbenennst oder nicht.
Fehlt zur kompletten Lösung die Angabe des Definitionsbereiches ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Do 02.02.2012 | | Autor: | gotoxy86 |
Danke nun habe ich es verstanden.
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