Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Mo 25.03.2013 | | Autor: | xtraxtra |
Hallo.
Ich habe eine generelle Frage zu AWPs:
Angenommen ich habe folgende allgemeine Situation gegeben:
x'=Ax mit x(0)=v
Die Matrix A ist ebenfalls gegeben.
Meine Lösung schaut wie folgt aus:
Als erstes bestimme ich die Eigenwerte und Eigenvektoren von A.
Mit dessen Hilfe kann ich dann die zu A gehörende Jordanmatrix J und die Transformationsmatrix W bilden.
Es gilt dann [mm] A=WJW^{-1}
[/mm]
Anschließend berechne ich [mm] exp(A*t)=W*exp(J*t)*W^{-1}
[/mm]
Ist dann exp(A*t)*v mein Lösungsvektor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Mo 25.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo.
> Ich habe eine generelle Frage zu AWPs:
> Angenommen ich habe folgende allgemeine Situation
> gegeben:
> x'=Ax mit x(0)=v
> Die Matrix A ist ebenfalls gegeben.
> Meine Lösung schaut wie folgt aus:
> Als erstes bestimme ich die Eigenwerte und Eigenvektoren
> von A.
> Mit dessen Hilfe kann ich dann die zu A gehörende
> Jordanmatrix J und die Transformationsmatrix W bilden.
> Es gilt dann [mm]A=WJW^{-1}[/mm]
> Anschließend berechne ich [mm]exp(A*t)=W*exp(J*t)*W^{-1}[/mm]
> Ist dann exp(A*t)*v mein Lösungsvektor?
Ja, [mm] e^{tA}v [/mm] löst das AWP
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Mo 25.03.2013 | | Autor: | xtraxtra |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Eine kleine Verständnisfrage hätte ich dann noch:
Wieso kann/muss ich denn nicht für t=0 einsetzen?
Weil ich interessiere mich ja für den Zeitpunkt t=0.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Mo 25.03.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn Du t=0 einsetzt, erhältst Du als Lösung den Vektor v, was ja korrekt ist. Du bist aber sicherlich nicht nur an der Lösung zum Zeitpunkt t=0 interessiert sondern am gesamten zeitlichen Verlauf und den hast Du mit der Lösung
[mm] x(t)=e^{A*t}*v [/mm] ja auch beschrieben.
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