Anfangswertproblem, Lipschitz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Sa 08.06.2013 | | Autor: | qbe |
| Aufgabe | | Für das Anfangswertproblem $ x'(t) = f(x(t))$, $ [mm] x(t_{0})=x_{0} [/mm] $ gibt es genau eine Lösung $x$, falls $f$ Lipschitzstetig ist. Diese Aussage benutzend, aber ohne auf die explizit bekannte Lösung des Problems einzugehen, soll gezeigt werden, dass alle Lösungen des Problems $ x'(t) = x(t)$, $ [mm] x(t_{0}) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] $ strikt positiv sind für alle Wahlen von [mm] \alpha [/mm] > 0. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Zusammen,
ich habe ehrlich gesagt keine Idee, wie ich an die Aufgabe herangehen soll. Muss ich über Beschränktheit der Ableitung gehen, oder ein Approximationsverfahren anwenden?
Über einen Tipp wäre ich dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:26 So 09.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Für das Anfangswertproblem [mm]x'(t) = f(x(t))[/mm], [mm]x(t_{0})=x_{0}[/mm]
> gibt es genau eine Lösung [mm]x[/mm], falls [mm]f[/mm] Lipschitzstetig ist.
> Diese Aussage benutzend, aber ohne auf die explizit
> bekannte Lösung des Problems einzugehen, soll gezeigt
> werden, dass alle Lösungen des Problems [mm]x'(t) = x(t)[/mm],
> [mm]x(t_{0}) = \alpha[/mm] strikt positiv sind für alle Wahlen von
> [mm]\alpha[/mm] > 0.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Zusammen,
>
> ich habe ehrlich gesagt keine Idee, wie ich an die Aufgabe
> herangehen soll. Muss ich über Beschränktheit der
> Ableitung gehen, oder ein Approximationsverfahren
> anwenden?
>
> Über einen Tipp wäre ich dankbar!
Sei [mm] \alpha>0
[/mm]
Das AWP $ x'(t) = x(t) $, $ [mm] x(t_{0}) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] $ hat genau eine nichfortsetzbare Lösung u:I [mm] \to \IR [/mm] (dabei ist I ein offenes Interval und [mm] t_0 \in [/mm] I)
Zu zeigen ist: u>0 auf I.
Annahme: es ex. ein [mm] s_0 \in [/mm] I mit [mm] u(s_0)=0. [/mm] Dann ist u eine Lösung des AWPs
$ x'(t) = x(t) $, $ [mm] x(s_{0}) [/mm] =0$
Die Funktion [mm] v\equiv [/mm] 0 löst dieses AWP ebenfalls. Eindeitigkeit der Lösung liefert:
[mm] u\equiv [/mm] 0 auf I,
also auch [mm] \alpha=u(t_0)=0, [/mm] Widerspruch.
Damit hat u auf I keine Nullstellen. Warum ist nun u>0 auf I ?
FRED
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