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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungen folgender Anfangswertprobleme:
a) [mm] y'(t) = -t/y(t), \qquad y(0) = y_0>0 [/mm]
b) [mm] y'(t) = e^{y(t)}, \qquad y(0) = y_0 \in \IR [/mm]
c) [mm] y'(t) = y(t)^3, \qquad y(0) = y_0 \in \IR [/mm]
Geben Sie jeweils maximale Zeitintervalle an, auf denen die Lösung existiert. |
Ich habe die Aufgaben gerechnet und mit der mir vorliegenden Musterlösung verglichen. Die Rechnungen sind mir soweit klar, nur zu ein paar Details habe ich Fragen:
zu a):
Ich zitiere hier erst einmal ein Stück der Musterlösung, damit meine Frage verständlich wird:
[mm] F(t) = \integral_{0}^{t}{-s \, ds} = -\bruch{t^2}{2} [/mm]
[mm] G(y) = \integral_{y_0}^{y}{\bruch{1}{g(z)} dz} = \integral_{y_0}^{y}{z \, dz} = \bruch{1}{2}(y^2 - y_0^2) [/mm]
[mm] G(\varphi(t)) = F(t) [/mm]
Warum wird hier plötzlich mit der Funktion [mm] \varphi [/mm] gearbeitet? Hat das einen bestimmten Grund (den ich nicht verstehe) oder kann ich einfach bei der Funktion [mm]y[/mm] bleiben?
Weiter frage ich mich, ob der Lösung nicht die Bestimmung des Zeitintervalls fehlt, denn sie endet mit:
[mm] \varphi(t) = \pm \wurzel{y_0^2 - t^2} [/mm]
Da [mm] y_0 > 0 [/mm] löst [mm] \varphi(t) = \wurzel{y_0^2 - t^2} [/mm] das AWP.
Ich glaube man müsste noch ergänzen, das die Wurzel nur existiert, wenn [mm] y_0^2 - t^2\ge 0 [/mm] gilt. Also [mm] y_0^2 - t^2 \ge 0 \gdw y_0^2 \ge t^2 \gdw |y_0| \ge |t| [/mm]. Die Lösung [mm] \varphi(t) = \wurzel{y_0^2 - t^2} [/mm] existiert also nur für [mm] |y_0| \ge |t| [/mm].
Oder habe ich das falsch verstanden?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:32 Mi 11.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Lösungen folgender Anfangswertprobleme:
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> a) [mm]y'(t) = -t/y(t), \qquad y(0) = y_0>0[/mm]
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> b) [mm]y'(t) = e^{y(t)}, \qquad y(0) = y_0 \in \IR[/mm]
>
> c) [mm]y'(t) = y(t)^3, \qquad y(0) = y_0 \in \IR[/mm]
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> Geben Sie jeweils maximale Zeitintervalle an, auf denen die
> Lösung existiert.
> Ich habe die Aufgaben gerechnet und mit der mir
> vorliegenden Musterlösung verglichen. Die Rechnungen sind
> mir soweit klar, nur zu ein paar Details habe ich Fragen:
>
> zu a):
>
> Ich zitiere hier erst einmal ein Stück der Musterlösung,
> damit meine Frage verständlich wird:
>
> [mm]F(t) = \integral_{0}^{t}{-s \, ds} = -\bruch{t^2}{2}[/mm]
> [mm]G(y) = \integral_{y_0}^{y}{\bruch{1}{g(z)} dz} = \integral_{y_0}^{y}{z \, dz} = \bruch{1}{2}(y^2 - y_0^2)[/mm]
>
> [mm]G(\varphi(t)) = F(t)[/mm]
>
> Warum wird hier plötzlich mit der Funktion [mm]\varphi[/mm]
> gearbeitet? Hat das einen bestimmten Grund (den ich nicht
> verstehe) oder kann ich einfach bei der Funktion [mm]y[/mm]
> bleiben?
Ja , das könntest Du
>
> Weiter frage ich mich, ob der Lösung nicht die Bestimmung
> des Zeitintervalls fehlt, denn sie endet mit:
>
> [mm]\varphi(t) = \pm \wurzel{y_0^2 - t^2}[/mm]
> Da [mm]y_0 > 0[/mm] löst
> [mm]\varphi(t) = \wurzel{y_0^2 - t^2}[/mm] das AWP.
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> Ich glaube man müsste noch ergänzen, das die Wurzel nur
> existiert, wenn [mm]y_0^2 - t^2\ge 0[/mm] gilt. Also [mm]y_0^2 - t^2 \ge 0 \gdw y_0^2 \ge t^2 \gdw |y_0| \ge |t| [/mm].
> Die Lösung [mm]\varphi(t) = \wurzel{y_0^2 - t^2}[/mm] existiert
> also nur für [mm]|y_0| \ge |t| [/mm].
> Oder habe ich das falsch
> verstanden?
nein, aber eines hast Du noch vergessen: die Wurzelfunktion ist in 0 nicht differenzierbar, somit:
[mm]\varphi(t) = \wurzel{y_0^2 - t^2}[/mm] ist eine Lösung nur für [mm]|y_0| > |t| [/mm].
FRED
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