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| Aufgabe | Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
[mm]\ddot y + y = 4 \cdot sin(t), \quad y(0) = 1, \quad \dot y(0) = 0[/mm] |
Hallo zusammen,
ich bekomme es leider nicht hin, die spezielle Lösung zu ermitteln:
Homogene Gleichung
[mm]y_h'' + y_h = 0[/mm]
Charakteristisches Polynom der DGL:
[mm]y_h(t) = e^{\lambda \cdot t}[/mm]
also: [mm]\left( (e^{\lambda*t} \right)'' + e^{\lambda*t} = 0 \iff \lambda^2 +1 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = i, \quad \lambda_2 = -i[/mm]
Homogene Lösung:
[mm]\lambda_1, \lambda_2[/mm] sind zueinander komplex konjugiert, also ist die reelle Lösung der homogenen DGL:
[mm]y_h = c_1 \cdot e^{0 \cdot t} * cos(1 \cdot t) + c_2 \cdot e^{0 \cdot t} * sin(1 \cdot t) = c_1 \cdot cos(t) + c_2 \cdot sin(t)[/mm]
Spezielle Lösung:
Aus einer Tabelle habe ich für eine Störfunktion der Form [mm](b_0 + b_1 \cdot x + ... + b_m \cdot x^m) \cdot sin(t)[/mm] mit b ungleich 0 den Lösungsansatz [mm](A_0 + A_1 \cdot x + ... + A_m \cdot x^m) \cdot cos(bx) + (B_0 + B_1 \cdot x + ... + B_m \cdot x^m) \cdot sin(bx)[/mm] entnommen.
Das heißt also, dass die spezielle Lösung so aussehen muss:
[mm]y_s(t) = A \cdot sin(t) + B \cdot cos(t)[/mm]
Mittels Koeffizientenvergleich sollte man nun ja in der Lage sein, A und B zu bestimmen und dann die spezielle Lösung einfach an die homogene Lösung "dranzuaddieren", um die allgemeine Lösung zu erhalten.
Allerdings stoße ich hier beim Koeffizientenvergleich auf einen Fehler:
[mm]y_s'(t) = A \cdot cos(t) - B \cdot sin(t)[/mm]
[mm]y_s''(t) = -A \cdot sin(t) - B \cdot cos(t)[/mm]
Wenn ich das nun in [mm]y'' + y = 4 \cdot sin(t)[/mm] einsetze, dann ergibt das (nach etwas Umformen):
[mm](-A+A) \cdot sin(t) + (-B+B) \cdot cos(t) = 4 \cdot sin(t) + 0 \cdot cos(t)[/mm]
Nun kann [mm]-A+A[/mm] natürlich nie gleich 4 sein.
Was ist hier schiefgelaufen? An welcher Stelle habe ich einen Fehler gemacht?
Ich hoffe, Ihr könnt mir hier weiterhelfen.
Viele Grüße
Patrick
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Hallo Apfelchips,
> Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
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> [mm]\ddot y + y = 4 \cdot sin(t), \quad y(0) = 1, \quad \dot y(0) = 0[/mm]
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> Hallo zusammen,
>
> ich bekomme es leider nicht hin, die spezielle Lösung zu
> ermitteln:
>
> Homogene Gleichung
> [mm]y_h'' + y_h = 0[/mm]
>
> Charakteristisches Polynom der DGL:
> [mm]y_h(t) = e^{\lambda \cdot t}[/mm]
> also: [mm]\left( (e^{\lambda*t} \right)'' + e^{\lambda*t} = 0 \iff \lambda^2 +1 = 0 \Rightarrow \lambda_1 = i, \quad \lambda_2 = -i[/mm]
>
> Homogene Lösung:
> [mm]\lambda_1, \lambda_2[/mm] sind zueinander komplex konjugiert,
> also ist die reelle Lösung der homogenen DGL:
> [mm]y_h = c_1 \cdot e^{0 \cdot t} * cos(1 \cdot t) + c_2 \cdot e^{0 \cdot t} * sin(1 \cdot t) = c_1 \cdot cos(t) + c_2 \cdot sin(t)[/mm]
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> Spezielle Lösung:
> Aus einer Tabelle habe ich für eine Störfunktion der
> Form [mm](b_0 + b_1 \cdot x + ... + b_m \cdot x^m) \cdot sin(t)[/mm]
> mit b ungleich 0 den Lösungsansatz [mm](A_0 + A_1 \cdot x + ... + A_m \cdot x^m) \cdot cos(bx) + (B_0 + B_1 \cdot x + ... + B_m \cdot x^m) \cdot sin(bx)[/mm]
> entnommen.
>
> Das heißt also, dass die spezielle Lösung so aussehen
> muss:
> [mm]y_s(t) = A \cdot sin(t) + B \cdot cos(t)[/mm]
>
> Mittels Koeffizientenvergleich sollte man nun ja in der
> Lage sein, A und B zu bestimmen und dann die spezielle
> Lösung einfach an die homogene Lösung "dranzuaddieren",
> um die allgemeine Lösung zu erhalten.
>
> Allerdings stoße ich hier beim Koeffizientenvergleich auf
> einen Fehler:
> [mm]y_s'(t) = A \cdot cos(t) - B \cdot sin(t)[/mm]
> [mm]y_s''(t) = -A \cdot sin(t) - B \cdot cos(t)[/mm]
>
> Wenn ich das nun in [mm]y'' + y = 4 \cdot sin(t)[/mm] einsetze, dann
> ergibt das (nach etwas Umformen):
> [mm](-A+A) \cdot sin(t) + (-B+B) \cdot cos(t) = 4 \cdot sin(t) + 0 \cdot cos(t)[/mm]
>
> Nun kann [mm]-A+A[/mm] natürlich nie gleich 4 sein.
>
> Was ist hier schiefgelaufen? An welcher Stelle habe ich
> einen Fehler gemacht?
>
Beim Ansatz der speziellen Lösung.
Dieser ist mit t zu multiplizieren,
da [mm]\sin\left(t\right)[/mm] eine Lösung der homogenen DGL ist.
Demnach lautet der Ansatz:
[mm]y_s(t) = \blue{t}*\left(A \cdot sin(t) + B \cdot cos(t)\right)[/mm]
> Ich hoffe, Ihr könnt mir hier weiterhelfen.
>
> Viele Grüße
> Patrick
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 So 09.06.2013 | | Autor: | Apfelchips |
Hallo MathePower,
> Beim Ansatz der speziellen Lösung.
>
> Dieser ist mit t zu multiplizieren,
> da [mm]\sin\left(t\right)[/mm] eine Lösung der homogenen DGL ist.
>
> Demnach lautet der Ansatz:
>
> [mm]y_s(t) = \blue{t}*\left(A \cdot sin(t) + B \cdot cos(t)\right)[/mm]
vielen Dank – jetzt komme ich auch auf eine vernünftige allgemeine Lösung:
[mm]y(t) = c_1 \cdot cos(t) + c_2 \cdot sin(t) - 2t \cdot cos(t)[/mm]
Die Lösung des AWPs lautet demnach:
[mm]y(t) = cos(t) + 2 \cdot sin(t) - 2t \cdot cos(t)[/mm]
Viele Grüße
Patrick
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