Angabe des Funktionsterms < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:33 Mi 13.09.2006 | | Autor: | kimnhi |
Könnt ihr mir vielleicht bei den Aufgaben weiterhelfen?
Gegeben sei eine ganzrationale Funktion
f dritten Grades mit den in der
Abbildung angebenen Eigenschaften.
a.Wie lautet der Funktionsterm der Funktion f?
Meine Funktion lautet: f(x)=-0,1875 [mm] x^3+2,25x-3
[/mm]
Stimmt das?
b.Im schraffierten Bereich wird ein Dreieck so einbeschrieben,
dass eine Seite die Gleichung y =-3 hat,
die zweite Seite parallel zur y-Achse verläuft und die
dritte Seite den Schnittpunkt der zweiten Seite mit dem
Graphen und den Wendepunkt miteinander verbindet.
Bei welchem x-Wert muss die zweite Dreiecksseite
liegen, wenn der Flächeninhalt des Dreiecks
maximal werden soll?
Wie gehe ich an diese Aufgabe am Besten ran?
VielenDank!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Mi 13.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo kimnhi!
> Meine Funktion lautet: f(x)=-0,1875 [mm]x^3+2,25x-3[/mm]
> Stimmt das?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber besser ist meist in Bruchdarstellung zu schreiben:
$f(x) \ = \ [mm] -\bruch{3}{16}*x^3+\bruch{9}{4}*x-3$
[/mm]
> b.Im schraffierten Bereich wird ein Dreieck so
> einbeschrieben, dass eine Seite die Gleichung y =-3 hat,
> die zweite Seite parallel zur y-Achse verläuft und die
> dritte Seite den Schnittpunkt der zweiten Seite mit dem
> Graphen und den Wendepunkt miteinander verbindet.
>
> Bei welchem x-Wert muss die zweite Dreiecksseite
> liegen, wenn der Flächeninhalt des Dreiecks maximal werden soll?
Am besten ist fast immer eine Skizze gemäß der Aufgabenstellung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dabei sehen wir dann, dass es sich hierbei um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, dessen Flächeninhalt berechnet wird zu:
[mm] $A_{\Delta} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*a*b$
[/mm]
Dabei wird die eine Seite beschrieben durch den x-Wert der senkrechten Geraden (bei mir in der Skizze ist gerade $x \ = \ -2$ . Es gilt also: $a \ = \ x$ .
Die andere Seite wird gebildet durch den Abstand des zugehörigen Funktionswertes $f(x)_$ zum y-Wert des Wendepunktes:
$b \ = \ [mm] f(x)-y_W [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{3}{16}*x^3+\bruch{9}{4}*x-3 [/mm] - (-3) \ = \ [mm] -\bruch{3}{16}*x^3+\bruch{9}{4}*x$
[/mm]
Wenn wir das nun in die Flächenformel einsetzen, erhalten wir unser Zielfunktion, von der wir das Maximum ermitteln sollen:
$A(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*x*\left(-\bruch{3}{16}*x^3+\bruch{9}{4}*x\right) [/mm] \ = \ ...$
Von dieser Funktion $A(x)_$ nun also Ableitungen bestimmen (zuvor ausmultiplizieren) und Nullstelle(n) der 1. Ableitung etc.
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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